Pré-calcul Exemples

$y = \sin^{2} (2 x) + \frac{1}{2} \cos (4 x)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin^{2} (2 x) + \frac{1}{2} \cdot \cos (4 x))$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin^{2} (2 x) + \frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (2 x)]$ .

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Étape 3.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (2 x)$ .

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Étape 3.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sin (2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

Étape 3.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

Étape 3.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sin (2 x)$ .

$2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 3.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x$ .

$2 \sin (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

Étape 3.2.2.2

La dérivée de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\cos (u_{2})$ .

$2 \sin (2 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

Étape 3.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x$ .

$2 \sin (2 x) (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

Étape 3.2.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \sin (2 x) (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

Étape 3.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \sin (2 x) (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

Étape 3.2.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 \sin (2 x) (\cos (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

Étape 3.2.6

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$2 \sin (2 x) (2 \cdot \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

Étape 3.2.7

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 4 x$ .

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Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $4 x$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [4 x])$

Étape 3.3.2.2

La dérivée de $\cos (u_{3})$ par rapport à $u_{3}$ est $- \sin (u_{3})$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [4 x])$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $4 x$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} (- \sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Étape 3.3.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} (- \sin (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} (- \sin (4 x) (4 \cdot 1))$

Étape 3.3.5

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} (- \sin (4 x) \cdot 4)$

Étape 3.3.6

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} (- 4 \sin (4 x))$

Étape 3.3.7

Associez $- 4$ et $\frac{1}{2}$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{- 4}{2} \sin (4 x)$

Étape 3.3.8

Associez $\frac{- 4}{2}$ et $\sin (4 x)$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{- 4 \sin (4 x)}{2}$

Étape 3.3.9

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 3.3.9.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4 \sin (4 x)$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{2 (- 2 \sin (4 x))}{2}$

Étape 3.3.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{2 (- 2 \sin (4 x))}{2 (1)}$

Étape 3.3.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{2 (- 2 \sin (4 x))}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{- 2 \sin (4 x)}{1}$

Étape 3.3.9.2.4

Divisez $- 2 \sin (4 x)$ par $1$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) - 2 \sin (4 x)$

Étape 3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$4 \cos (2 x) \sin (2 x) - 2 \sin (4 x)$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 4 \cos (2 x) \sin (2 x) - 2 \sin (4 x)$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 \cos (2 x) \sin (2 x) - 2 \sin (4 x)$