Pré-calcul Exemples

$\frac{- 1}{x - 6} < \frac{2}{9 - x}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{2}{9 - x}$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{- 1}{x - 6} - \frac{2}{9 - x} < 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{- 1}{x - 6} - \frac{2}{9 - x}$ .

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Étape 2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{x - 6} - \frac{2}{9 - x} < 0$

Étape 2.2

Pour écrire $- \frac{1}{x - 6}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9 - x}{9 - x}$ .

$- \frac{1}{x - 6} \cdot \frac{9 - x}{9 - x} - \frac{2}{9 - x} < 0$

Étape 2.3

Pour écrire $- \frac{2}{9 - x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$- \frac{1}{x - 6} \cdot \frac{9 - x}{9 - x} - \frac{2}{9 - x} \cdot \frac{x - 6}{x - 6} < 0$

Étape 2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 6) (9 - x)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.4.1

Multipliez $\frac{1}{x - 6}$ par $\frac{9 - x}{9 - x}$ .

$- \frac{9 - x}{(x - 6) (9 - x)} - \frac{2}{9 - x} \cdot \frac{x - 6}{x - 6} < 0$

Étape 2.4.2

Multipliez $\frac{2}{9 - x}$ par $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$- \frac{9 - x}{(x - 6) (9 - x)} - \frac{2 (x - 6)}{(9 - x) (x - 6)} < 0$

Étape 2.4.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 6) (9 - x)$ .

$- \frac{9 - x}{(9 - x) (x - 6)} - \frac{2 (x - 6)}{(9 - x) (x - 6)} < 0$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- (9 - x) - 2 (x - 6)}{(9 - x) (x - 6)} < 0$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- (9 - x) - 2 (x - 6)$ .

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Étape 2.6.1.1

Remettez dans l’ordre $9$ et $- x$ .

$\frac{- (- x + 9) - 2 (x - 6)}{(9 - x) (x - 6)} < 0$

Étape 2.6.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 (x - 6)$ .

$\frac{- (- x + 9) - (2 (x - 6))}{(9 - x) (x - 6)} < 0$

Étape 2.6.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (- x + 9) - (2 (x - 6))$ .

$\frac{- (- x + 9 + 2 (x - 6))}{(9 - x) (x - 6)} < 0$

Étape 2.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- (- x + 9 + 2 x + 2 \cdot - 6)}{(9 - x) (x - 6)} < 0$

Étape 2.6.3

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$\frac{- (- x + 9 + 2 x - 12)}{(9 - x) (x - 6)} < 0$

Étape 2.6.4

Additionnez $- x$ et $2 x$ .

$\frac{- (x + 9 - 12)}{(9 - x) (x - 6)} < 0$

Étape 2.6.5

Soustrayez $12$ de $9$ .

$\frac{- (x - 3)}{(9 - x) (x - 6)} < 0$

Étape 2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x - 3}{(9 - x) (x - 6)} < 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x - 3 = 0$

$9 - x = 0$

$x - 6 = 0$

Étape 4

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 5

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 9$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $- x = - 9$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 9$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

Étape 6.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 9}{- 1}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Divisez $- 9$ par $- 1$ .

$x = 9$

Étape 7

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 8

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 3$

$x = 9$

$x = 6$

Étape 9

Consolidez les solutions.

$x = 3, 9, 6$

Étape 10

Déterminez le domaine de $- \frac{x - 3}{(9 - x) (x - 6)}$ .

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Étape 10.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x - 3}{(9 - x) (x - 6)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$(9 - x) (x - 6) = 0$

Étape 10.2

Résolvez $x$ .

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Étape 10.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$9 - x = 0$

$x - 6 = 0$

Étape 10.2.2

Définissez $9 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.2.2.1

Définissez $9 - x$ égal à $0$ .

$9 - x = 0$

Étape 10.2.2.2

Résolvez $9 - x = 0$ pour $x$ .

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Étape 10.2.2.2.1

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 9$

Étape 10.2.2.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 9$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 10.2.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 9$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

Étape 10.2.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.2.2.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

Étape 10.2.2.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 9}{- 1}$

Étape 10.2.2.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.2.2.2.2.3.1

Divisez $- 9$ par $- 1$ .

$x = 9$

Étape 10.2.3

Définissez $x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.2.3.1

Définissez $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 10.2.3.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 10.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(9 - x) (x - 6) = 0$ vraie.

$x = 9, 6$

Étape 10.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 6) \cup (6, 9) \cup (9, \infty)$

Étape 11

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 3$

$3 < x < 6$

$6 < x < 9$

$x > 9$

Étape 12

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 12.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 12.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{- 1}{(0) - 6} < \frac{2}{9 - (0)}$

Étape 12.1.3

Le côté gauche $0.1\overline{6}$ est inférieur au côté droit $0.\overline{2}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 12.2

Testez une valeur sur l’intervalle $3 < x < 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $3 < x < 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 12.2.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{- 1}{(4) - 6} < \frac{2}{9 - (4)}$

Étape 12.2.3

Le côté gauche $0.5$ n’est pas inférieur au côté droit $0.4$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 12.3

Testez une valeur sur l’intervalle $6 < x < 9$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $6 < x < 9$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8$

Étape 12.3.2

Remplacez $x$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{- 1}{(8) - 6} < \frac{2}{9 - (8)}$

Étape 12.3.3

Le côté gauche $- 0.5$ est inférieur au côté droit $2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 12.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 9$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 9$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 12$

Étape 12.4.2

Remplacez $x$ par $12$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{- 1}{(12) - 6} < \frac{2}{9 - (12)}$

Étape 12.4.3

Le côté gauche $- 0.1\overline{6}$ n’est pas inférieur au côté droit $- 0.\overline{6}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 12.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 3$ Vrai

$3 < x < 6$ Faux

$6 < x < 9$ Vrai

$x > 9$ Faux

$x < 3$ Vrai

$3 < x < 6$ Faux

$6 < x < 9$ Vrai

$x > 9$ Faux

Étape 13

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < 3$ ou $6 < x < 9$

Étape 14

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, 3) \cup (6, 9)$

Étape 15