Pré-calcul Exemples

$f (x) = \sqrt{\frac{x}{2 x - 1} - 1}$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt{\frac{x}{2 x - 1} - 1}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\frac{x}{2 x - 1} - 1 \geq 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Simplifiez $\frac{x}{2 x - 1} - 1$ .

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Étape 2.1.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{x}{2 x - 1} - 1 \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1} \geq 0$

Étape 2.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1.2.1

Associez $- 1$ et $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{x}{2 x - 1} + \frac{- (2 x - 1)}{2 x - 1} \geq 0$

Étape 2.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x - (2 x - 1)}{2 x - 1} \geq 0$

Étape 2.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - (2 x) - - 1}{2 x - 1} \geq 0$

Étape 2.1.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{x - 2 x - - 1}{2 x - 1} \geq 0$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{x - 2 x + 1}{2 x - 1} \geq 0$

Étape 2.1.3.4

Soustrayez $2 x$ de $x$ .

$\frac{- x + 1}{2 x - 1} \geq 0$

Étape 2.1.4

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.1.4.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{- (x) + 1}{2 x - 1} \geq 0$

Étape 2.1.4.2

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x) - 1 (- 1)}{2 x - 1} \geq 0$

Étape 2.1.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x - 1)}{2 x - 1} \geq 0$

Étape 2.1.4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.4.4.1

Réécrivez $- (x - 1)$ comme $- 1 (x - 1)$ .

$\frac{- 1 (x - 1)}{2 x - 1} \geq 0$

Étape 2.1.4.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x - 1}{2 x - 1} \geq 0$

Étape 2.2

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x - 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

Étape 2.3

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.4

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 1$

Étape 2.5

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.5.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 2.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 2.5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 2.6

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 1$

$x = \frac{1}{2}$

Étape 2.7

Consolidez les solutions.

$x = 1, \frac{1}{2}$

Étape 2.8

Déterminez le domaine de $\frac{x}{2 x - 1} - 1$ .

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Étape 2.8.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x}{2 x - 1}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$2 x - 1 = 0$

Étape 2.8.2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.8.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 1$

Étape 2.8.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.8.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 2.8.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.8.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.8.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 2.8.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 2.8.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Étape 2.9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < 1$

$x > 1$

Étape 2.10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 2.10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{1}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{1}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 2.10.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{0}{2 (0) - 1} - 1 \geq 0$

Étape 2.10.1.3

Le côté gauche $- 1$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 2.10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{1}{2} < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{1}{2} < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0.75$

Étape 2.10.2.2

Remplacez $x$ par $0.75$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{0.75}{2 (0.75) - 1} - 1 \geq 0$

Étape 2.10.2.3

Le côté gauche $0.5$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 2.10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 2.10.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{4}{2 (4) - 1} - 1 \geq 0$

Étape 2.10.3.3

Le côté gauche $- 0.\overline{428571}$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 2.10.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < \frac{1}{2}$ Faux

$\frac{1}{2} < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Faux

$x < \frac{1}{2}$ Faux

$\frac{1}{2} < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Faux

Étape 2.11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$\frac{1}{2} < x \leq 1$

Étape 3

Définissez le dénominateur dans $\frac{x}{2 x - 1}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$2 x - 1 = 0$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 1$

Étape 4.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 4.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(\frac{1}{2}, 1]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | \frac{1}{2} < x \leq 1}$

Étape 6