Pré-calcul Exemples

$f (x) = 9 x^{4} - 9 x^{3} - 58 x^{2} + 4 x + 24$

Étape 1

Définissez $9 x^{4} - 9 x^{3} - 58 x^{2} + 4 x + 24$ égal à $0$ .

$9 x^{4} - 9 x^{3} - 58 x^{2} + 4 x + 24 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Regroupez les termes.

$- 9 x^{3} + 4 x + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $- x$ à partir de $- 9 x^{3} + 4 x$ .

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $- x$ à partir de $- 9 x^{3}$ .

$- x (9 x^{2}) + 4 x + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Étape 2.1.2.2

Factorisez $- x$ à partir de $4 x$ .

$- x (9 x^{2}) - x \cdot - 4 + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Étape 2.1.2.3

Factorisez $- x$ à partir de $- x (9 x^{2}) - x (- 4)$ .

$- x (9 x^{2} - 4) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Étape 2.1.3

Réécrivez $9 x^{2}$ comme ${(3 x)}^{2}$ .

$- x ({(3 x)}^{2} - 4) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Étape 2.1.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- x ({(3 x)}^{2} - 2^{2}) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Étape 2.1.5

Factorisez.

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Étape 2.1.5.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 3 x$ et $b = 2$ .

$- x ((3 x + 2) (3 x - 2)) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Étape 2.1.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Étape 2.1.6

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 {(x^{2})}^{2} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Étape 2.1.7

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 58 u + 24 = 0$

Étape 2.1.8

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1.8.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 9 \cdot 24 = 216$ et dont la somme est $b = - 58$ .

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Étape 2.1.8.1.1

Factorisez $- 58$ à partir de $- 58 u$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 58 u + 24 = 0$

Étape 2.1.8.1.2

Réécrivez $- 58$ comme $- 4$ plus $- 54$

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} + (- 4 - 54) u + 24 = 0$

Étape 2.1.8.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 4 u - 54 u + 24 = 0$

Étape 2.1.8.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.8.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 4 u - 54 u + 24 = 0$

Étape 2.1.8.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + u (9 u - 4) - 6 (9 u - 4) = 0$

Étape 2.1.8.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $9 u - 4$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + (9 u - 4) (u - 6) = 0$

Étape 2.1.9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + (9 x^{2} - 4) (x^{2} - 6) = 0$

Étape 2.1.10

Réécrivez $9 x^{2}$ comme ${(3 x)}^{2}$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + ({(3 x)}^{2} - 4) (x^{2} - 6) = 0$

Étape 2.1.11

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + ({(3 x)}^{2} - 2^{2}) (x^{2} - 6) = 0$

Étape 2.1.12

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 3 x$ et $b = 2$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6) = 0$

Étape 2.1.13

Factorisez $(3 x + 2) (3 x - 2)$ à partir de $- x (3 x + 2) (3 x - 2) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6)$ .

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Étape 2.1.13.1

Factorisez $(3 x + 2) (3 x - 2)$ à partir de $- x (3 x + 2) (3 x - 2)$ .

$(3 x + 2) (3 x - 2) (- x) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6) = 0$

Étape 2.1.13.2

Factorisez $(3 x + 2) (3 x - 2)$ à partir de $(3 x + 2) (3 x - 2) (- x) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6)$ .

$(3 x + 2) (3 x - 2) (- x + x^{2} - 6) = 0$

Étape 2.1.14

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$(3 x + 2) (3 x - 2) (- u + u^{2} - 6) = 0$

Étape 2.1.15

Factorisez $- u + u^{2} - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.15.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 3, 2$

Étape 2.1.15.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(3 x + 2) (3 x - 2) ((u - 3) (u + 2)) = 0$

Étape 2.1.16

Factorisez.

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Étape 2.1.16.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$(3 x + 2) (3 x - 2) ((x - 3) (x + 2)) = 0$

Étape 2.1.16.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(3 x + 2) (3 x - 2) (x - 3) (x + 2) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$3 x - 2 = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 2.3

Définissez $3 x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $3 x + 2$ égal à $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Étape 2.3.2

Résolvez $3 x + 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 2$

Étape 2.3.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 2$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 2$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Étape 2.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Étape 2.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Étape 2.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{2}{3}$

Étape 2.4

Définissez $3 x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $3 x - 2$ égal à $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $3 x - 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 2$

Étape 2.4.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 2$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 2$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Étape 2.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Étape 2.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Étape 2.5

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 2.6

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.6.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 2.6.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 x + 2) (3 x - 2) (x - 3) (x + 2) = 0$ vraie.

$x = - \frac{2}{3}, \frac{2}{3}, 3, - 2$

Étape 3