Pré-calcul Exemples

$\sin (θ) + \cos (θ) \cot (θ) = \csc (θ)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\sin (θ) + \cos (θ) \cot (θ)$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Réécrivez $\cot (θ)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\sin (θ) + \cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Étape 2.2

Multipliez $\cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

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Étape 2.2.1

Associez $\cos (θ)$ et $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$\sin (θ) + \frac{\cos (θ) \cos (θ)}{\sin (θ)}$

Étape 2.2.2

Élevez $\cos (θ)$ à la puissance $1$ .

$\sin (θ) + \frac{\cos^{1} (θ) \cos (θ)}{\sin (θ)}$

Étape 2.2.3

Élevez $\cos (θ)$ à la puissance $1$ .

$\sin (θ) + \frac{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)}{\sin (θ)}$

Étape 2.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (θ) + \frac{{\cos (θ)}^{1 + 1}}{\sin (θ)}$

Étape 2.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}$

Étape 3

Appliquez l’identité pythagoricienne en sens inverse.

$\sin (θ) + \frac{1 - \sin^{2} (θ)}{\sin (θ)}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\sin (θ) + \frac{1^{2} - {\sin (θ)}^{2}}{\sin (θ)}$

Étape 4.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \sin (θ)$ .

$\sin (θ) + \frac{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}{\sin (θ)}$

Étape 4.2

Pour écrire $\sin (θ)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sin (θ)}{\sin (θ)}$ .

$\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\sin (θ)} + \frac{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}{\sin (θ)}$

Étape 4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sin (θ) \sin (θ) + (1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}{\sin (θ)}$

Étape 4.4

Simplifiez le numérateur.

$\frac{1}{\sin (θ)}$

Étape 5

Réécrivez $\frac{1}{\sin (θ)}$ comme $\csc (θ)$ .

$\csc (θ)$

Étape 6

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\sin (θ) + \cos (θ) \cot (θ) = \csc (θ)$ est une identité