Pré-calcul Exemples

$f (x) = 5 x^{3} + 28 x^{2} + 16 x + 5$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 5$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm \frac{1}{5}, \pm 5$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

$5 {(- 5)}^{3} + 28 {(- 5)}^{2} + 16 (- 5) + 5$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = - 5$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $3$ .

$5 \cdot - 125 + 28 {(- 5)}^{2} + 16 (- 5) + 5$

Étape 4.1.2

Multipliez $5$ par $- 125$ .

$- 625 + 28 {(- 5)}^{2} + 16 (- 5) + 5$

Étape 4.1.3

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$- 625 + 28 \cdot 25 + 16 (- 5) + 5$

Étape 4.1.4

Multipliez $28$ par $25$ .

$- 625 + 700 + 16 (- 5) + 5$

Étape 4.1.5

Multipliez $16$ par $- 5$ .

$- 625 + 700 - 80 + 5$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.1

Additionnez $- 625$ et $700$ .

$75 - 80 + 5$

Étape 4.2.2

Soustrayez $80$ de $75$ .

$- 5 + 5$

Étape 4.2.3

Additionnez $- 5$ et $5$ .

$0$

Étape 5

Comme $- 5$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 5$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{5 x^{3} + 28 x^{2} + 16 x + 5}{x + 5}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$- 5$	$5$	$28$	$16$	$5$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(5)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$- 5$	$5$	$28$	$16$	$5$

	$5$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(5)$ par le diviseur $(- 5)$ et placez le résultat de $(- 25)$ sous le terme suivant dans le dividende $(28)$ .

$- 5$	$5$	$28$	$16$	$5$
		$- 25$
	$5$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 5$	$5$	$28$	$16$	$5$
		$- 25$
	$5$	$3$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(3)$ par le diviseur $(- 5)$ et placez le résultat de $(- 15)$ sous le terme suivant dans le dividende $(16)$ .

$- 5$	$5$	$28$	$16$	$5$
		$- 25$	$- 15$
	$5$	$3$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 5$	$5$	$28$	$16$	$5$
		$- 25$	$- 15$
	$5$	$3$	$1$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(- 5)$ et placez le résultat de $(- 5)$ sous le terme suivant dans le dividende $(5)$ .

$- 5$	$5$	$28$	$16$	$5$
		$- 25$	$- 15$	$- 5$
	$5$	$3$	$1$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 5$	$5$	$28$	$16$	$5$
		$- 25$	$- 15$	$- 5$
	$5$	$3$	$1$	$0$

Étape 6.9

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$5 x^{2} + 3 x + 1$

Étape 7

Résolvez l’équation pour déterminer toute racine restante.

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Étape 7.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs $a = 5$ , $b = 3$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (5 \cdot 1)}}{2 \cdot 5}$

Étape 7.3

Simplifiez

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Étape 7.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.3.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

Étape 7.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 5 \cdot 1$ .

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Étape 7.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 20 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

Étape 7.3.1.2.2

Multipliez $- 20$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 20}}{2 \cdot 5}$

Étape 7.3.1.3

Soustrayez $20$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 11}}{2 \cdot 5}$

Étape 7.3.1.4

Réécrivez $- 11$ comme $- 1 (11)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 11}}{2 \cdot 5}$

Étape 7.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (11)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}}{2 \cdot 5}$

Étape 7.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{11}}{2 \cdot 5}$

Étape 7.3.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{11}}{10}$

Étape 7.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 7.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.4.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

Étape 7.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 5 \cdot 1$ .

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Étape 7.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 20 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

Étape 7.4.1.2.2

Multipliez $- 20$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 20}}{2 \cdot 5}$

Étape 7.4.1.3

Soustrayez $20$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 11}}{2 \cdot 5}$

Étape 7.4.1.4

Réécrivez $- 11$ comme $- 1 (11)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 11}}{2 \cdot 5}$

Étape 7.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (11)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}}{2 \cdot 5}$

Étape 7.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{11}}{2 \cdot 5}$

Étape 7.4.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{11}}{10}$

Étape 7.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 3 + i \sqrt{11}}{10}$

Étape 7.4.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + i \sqrt{11}}{10}$

Étape 7.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $i \sqrt{11}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- i \sqrt{11})}{10}$

Étape 7.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (3) - (- i \sqrt{11})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - i \sqrt{11})}{10}$

Étape 7.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{11}}{10}$

Étape 7.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 7.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.5.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

Étape 7.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 5 \cdot 1$ .

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Étape 7.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 20 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

Étape 7.5.1.2.2

Multipliez $- 20$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 20}}{2 \cdot 5}$

Étape 7.5.1.3

Soustrayez $20$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 11}}{2 \cdot 5}$

Étape 7.5.1.4

Réécrivez $- 11$ comme $- 1 (11)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 11}}{2 \cdot 5}$

Étape 7.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (11)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}}{2 \cdot 5}$

Étape 7.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{11}}{2 \cdot 5}$

Étape 7.5.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{11}}{10}$

Étape 7.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 3 - i \sqrt{11}}{10}$

Étape 7.5.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - i \sqrt{11}}{10}$

Étape 7.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- i \sqrt{11}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (i \sqrt{11})}{10}$

Étape 7.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (3) - (i \sqrt{11})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + i \sqrt{11})}{10}$

Étape 7.5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3 + i \sqrt{11}}{10}$

Étape 7.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{11}}{10}, - \frac{3 + i \sqrt{11}}{10}$

Étape 8

Le polynôme peut être écrit comme un ensemble de facteurs linéaires.

$(x + 5) (x + \frac{3 - i \sqrt{11}}{10}) (x + \frac{3 + i \sqrt{11}}{10})$

Étape 9

Ce sont les racines (zéros) du polynôme $5 x^{3} + 28 x^{2} + 16 x + 5$ .

$x = - 5, - \frac{3 - i \sqrt{11}}{10}, - \frac{3 + i \sqrt{11}}{10}$

Étape 10