Pré-calcul Exemples

$4 x^{4} - 25 x^{2} + 36 \leq 0$

Étape 1

Remplacez $u = x^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$4 u^{2} - 25 u + 36 = 0$

$u = x^{2}$

Étape 2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot 36 = 144$ et dont la somme est $b = - 25$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $- 25$ à partir de $- 25 u$ .

$4 u^{2} - 25 u + 36 = 0$

Étape 2.1.2

Réécrivez $- 25$ comme $- 9$ plus $- 16$

$4 u^{2} + (- 9 - 16) u + 36 = 0$

Étape 2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 u^{2} - 9 u - 16 u + 36 = 0$

Étape 2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(4 u^{2} - 9 u) - 16 u + 36 = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (4 u - 9) - 4 (4 u - 9) = 0$

Étape 2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 u - 9$ .

$(4 u - 9) (u - 4) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$4 u - 9 = 0$

$u - 4 = 0$

Étape 4

Définissez $4 u - 9$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 4.1

Définissez $4 u - 9$ égal à $0$ .

$4 u - 9 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $4 u - 9 = 0$ pour $u$ .

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Étape 4.2.1

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$4 u = 9$

Étape 4.2.2

Divisez chaque terme dans $4 u = 9$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 u = 9$ par $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{9}{4}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 u}{4} = \frac{9}{4}$

Étape 4.2.2.2.1.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{9}{4}$

Étape 5

Définissez $u - 4$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 5.1

Définissez $u - 4$ égal à $0$ .

$u - 4 = 0$

Étape 5.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 4$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(4 u - 9) (u - 4) = 0$ vraie.

$u = \frac{9}{4}, 4$

Étape 7

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = x^{2}$ dans l’équation résolue.

$x^{2} = \frac{9}{4}$

${(x^{2})}^{1} = 4$

Étape 8

Résolvez la première équation pour $x$ .

$x^{2} = \frac{9}{4}$

Étape 9

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{9}{4}}$

Étape 9.2

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{9}{4}}$ .

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Étape 9.2.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{9}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}$

Étape 9.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3^{2}}}{\sqrt{4}}$

Étape 9.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm \frac{3}{\sqrt{4}}$

Étape 9.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{3}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 9.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm \frac{3}{2}$

Étape 9.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 9.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{3}{2}$

Étape 9.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{3}{2}$

Étape 9.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{3}{2}, - \frac{3}{2}$

Étape 10

Résolvez la deuxième équation pour $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 4$

Étape 11

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 11.1

Supprimez les parenthèses.

$x^{2} = 4$

Étape 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Étape 11.3

Simplifiez $\pm \sqrt{4}$ .

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Étape 11.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Étape 11.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 2$

Étape 11.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 11.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2$

Étape 11.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2$

Étape 11.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2, - 2$

Étape 12

La solution à $4 x^{4} - 25 x^{2} + 36 = 0$ est $x = \frac{3}{2}, - \frac{3}{2}, 2, - 2$ .

$x = \frac{3}{2}, - \frac{3}{2}, 2, - 2$

Étape 13

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 2$

$- 2 < x < - \frac{3}{2}$

$- \frac{3}{2} < x < \frac{3}{2}$

$\frac{3}{2} < x < 2$

$x > 2$

Étape 14

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 14.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 14.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 14.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$4 {(- 4)}^{4} - 25 {(- 4)}^{2} + 36 \leq 0$

Étape 14.1.3

Le côté gauche $660$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 14.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < - \frac{3}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 14.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < - \frac{3}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 1.75$

Étape 14.2.2

Remplacez $x$ par $- 1.75$ dans l’inégalité d’origine.

$4 {(- 1.75)}^{4} - 25 {(- 1.75)}^{2} + 36 \leq 0$

Étape 14.2.3

Le côté gauche $- 3.046875$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 14.3

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{3}{2} < x < \frac{3}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 14.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{3}{2} < x < \frac{3}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 14.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$4 {(0)}^{4} - 25 {(0)}^{2} + 36 \leq 0$

Étape 14.3.3

Le côté gauche $36$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 14.4

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{3}{2} < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 14.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{3}{2} < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1.75$

Étape 14.4.2

Remplacez $x$ par $1.75$ dans l’inégalité d’origine.

$4 {(1.75)}^{4} - 25 {(1.75)}^{2} + 36 \leq 0$

Étape 14.4.3

Le côté gauche $- 3.046875$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 14.5

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 14.5.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 14.5.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$4 {(4)}^{4} - 25 {(4)}^{2} + 36 \leq 0$

Étape 14.5.3

Le côté gauche $660$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 14.6

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 2$ Faux

$- 2 < x < - \frac{3}{2}$ Vrai

$- \frac{3}{2} < x < \frac{3}{2}$ Faux

$\frac{3}{2} < x < 2$ Vrai

$x > 2$ Faux

$x < - 2$ Faux

$- 2 < x < - \frac{3}{2}$ Vrai

$- \frac{3}{2} < x < \frac{3}{2}$ Faux

$\frac{3}{2} < x < 2$ Vrai

$x > 2$ Faux

Étape 15

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 2 \leq x \leq - \frac{3}{2}$ ou $\frac{3}{2} \leq x \leq 2$

Étape 16

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$[- 2, - \frac{3}{2}] \cup [\frac{3}{2}, 2]$

Étape 17