Pré-calcul Exemples

$y = \arctan (x + \frac{π}{2})$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \arctan (y + \frac{π}{2})$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\arctan (y + \frac{π}{2}) = x$ .

$\arctan (y + \frac{π}{2}) = x$

Étape 2.2

Prenez l’arc tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de l’arc tangente.

$y + \frac{π}{2} = \tan (x)$

Étape 2.3

Soustrayez $\frac{π}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$y = \tan (x) - \frac{π}{2}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \tan (x) - \frac{π}{2}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \tan (x) - \frac{π}{2}$ est l’inverse de $f (x) = \arctan (x + \frac{π}{2})$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\arctan (x + \frac{π}{2}))$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\arctan (x + \frac{π}{2})) = \tan (\arctan (x + \frac{π}{2})) - \frac{π}{2}$

Étape 4.2.3

Les fonctions tangente et arc tangente sont inverses.

$f^{- 1} (\arctan (x + \frac{π}{2})) = x + \frac{π}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 4.2.4

Associez les termes opposés dans $x + \frac{π}{2} - \frac{π}{2}$ .

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Étape 4.2.4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\arctan (x + \frac{π}{2})) = x + \frac{π - π}{2}$

Étape 4.2.4.2

Soustrayez $π$ de $π$ .

$f^{- 1} (\arctan (x + \frac{π}{2})) = x + \frac{0}{2}$

Étape 4.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.5.1

Divisez $0$ par $2$ .

$f^{- 1} (\arctan (x + \frac{π}{2})) = x + 0$

Étape 4.2.5.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\arctan (x + \frac{π}{2})) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\tan (x) - \frac{π}{2})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\tan (x) - \frac{π}{2}) = \arctan ((\tan (x) - \frac{π}{2}) + \frac{π}{2})$

Étape 4.3.3

Associez les termes opposés dans $(\tan (x) - \frac{π}{2}) + \frac{π}{2}$ .

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Étape 4.3.3.1

Additionnez $- \frac{π}{2}$ et $\frac{π}{2}$ .

$f (\tan (x) - \frac{π}{2}) = \arctan (\tan (x) + 0)$

Étape 4.3.3.2

Additionnez $\tan (x)$ et $0$ .

$f (\tan (x) - \frac{π}{2}) = \arctan (\tan (x))$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \tan (x) - \frac{π}{2}$ est l’inverse de $f (x) = \arctan (x + \frac{π}{2})$ .

$f^{- 1} (x) = \tan (x) - \frac{π}{2}$