Pré-calcul Exemples

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$ , $f (x) = 9 x^{2} + 4$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = 9 {(x + h)}^{2} + 4$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1

Réécrivez ${(x + h)}^{2}$ comme $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 9 ((x + h) (x + h)) + 4$

Étape 2.1.2.1.2

Développez $(x + h) (x + h)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 9 (x (x + h) + h (x + h)) + 4$

Étape 2.1.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 9 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 4$

Étape 2.1.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 9 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 4$

Étape 2.1.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x + h) = 9 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 4$

Étape 2.1.2.1.3.1.2

Multipliez $h$ par $h$ .

$f (x + h) = 9 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 4$

Étape 2.1.2.1.3.2

Additionnez $x h$ et $h x$ .

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Étape 2.1.2.1.3.2.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $h$ .

$f (x + h) = 9 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 4$

Étape 2.1.2.1.3.2.2

Additionnez $h x$ et $h x$ .

$f (x + h) = 9 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 4$

Étape 2.1.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 9 x^{2} + 9 (2 h x) + 9 h^{2} + 4$

Étape 2.1.2.1.5

Multipliez $2$ par $9$ .

$f (x + h) = 9 x^{2} + 18 h x + 9 h^{2} + 4$

Étape 2.1.2.2

La réponse finale est $9 x^{2} + 18 h x + 9 h^{2} + 4$ .

$9 x^{2} + 18 h x + 9 h^{2} + 4$

Étape 2.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 2.2.1

Déplacez $9 x^{2}$ .

$18 h x + 9 h^{2} + 9 x^{2} + 4$

Étape 2.2.2

Remettez dans l’ordre $18 h x$ et $9 h^{2}$ .

$9 h^{2} + 18 h x + 9 x^{2} + 4$

Étape 2.3

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = 9 h^{2} + 18 h x + 9 x^{2} + 4$

$f (x) = 9 x^{2} + 4$

$f (x + h) = 9 h^{2} + 18 h x + 9 x^{2} + 4$

$f (x) = 9 x^{2} + 4$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{9 h^{2} + 18 h x + 9 x^{2} + 4 - (9 x^{2} + 4)}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 h^{2} + 18 h x + 9 x^{2} + 4 - (9 x^{2}) - 1 \cdot 4}{h}$

Étape 4.1.2

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$\frac{9 h^{2} + 18 h x + 9 x^{2} + 4 - 9 x^{2} - 1 \cdot 4}{h}$

Étape 4.1.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{9 h^{2} + 18 h x + 9 x^{2} + 4 - 9 x^{2} - 4}{h}$

Étape 4.1.4

Soustrayez $9 x^{2}$ de $9 x^{2}$ .

$\frac{9 h^{2} + 18 h x + 0 + 4 - 4}{h}$

Étape 4.1.5

Additionnez $9 h^{2}$ et $0$ .

$\frac{9 h^{2} + 18 h x + 4 - 4}{h}$

Étape 4.1.6

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\frac{9 h^{2} + 18 h x + 0}{h}$

Étape 4.1.7

Additionnez $9 h^{2} + 18 h x$ et $0$ .

$\frac{9 h^{2} + 18 h x}{h}$

Étape 4.1.8

Factorisez $9 h$ à partir de $9 h^{2} + 18 h x$ .

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Étape 4.1.8.1

Factorisez $9 h$ à partir de $9 h^{2}$ .

$\frac{9 h \cdot h + 18 h x}{h}$

Étape 4.1.8.2

Factorisez $9 h$ à partir de $18 h x$ .

$\frac{9 h \cdot h + 9 h (2 x)}{h}$

Étape 4.1.8.3

Factorisez $9 h$ à partir de $9 h \cdot h + 9 h (2 x)$ .

$\frac{9 h (h + 2 x)}{h}$

Étape 4.2

Simplifiez les termes.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 h (h + 2 x)}{h}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $9 (h + 2 x)$ par $1$ .

$9 (h + 2 x)$

Étape 4.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$9 h + 9 (2 x)$

Étape 4.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.3.1

Multipliez $2$ par $9$ .

$9 h + 18 x$

Étape 4.2.3.2

Remettez dans l’ordre $9 h$ et $18 x$ .

$18 x + 9 h$

Étape 5