Pré-calcul Exemples

$p (x) = - \frac{1}{2} x^{3} + \frac{3}{2} x - 1$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = - \frac{1}{2} x^{3} + \frac{3}{2} x - 1$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{1}{2} x^{3} + \frac{3}{2} x - 1 = 0$ .

$- \frac{1}{2} x^{3} + \frac{3}{2} x - 1 = 0$

Étape 1.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.2.1

Associez $x^{3}$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{3}}{2} + \frac{3}{2} x - 1 = 0$

Étape 1.2.2.2

Associez $\frac{3}{2}$ et $x$ .

$- \frac{x^{3}}{2} + \frac{3 x}{2} - 1 = 0$

Étape 1.2.3

Multiplier chaque terme dans $- \frac{x^{3}}{2} + \frac{3 x}{2} - 1 = 0$ par $2$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 1.2.3.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{x^{3}}{2} + \frac{3 x}{2} - 1 = 0$ par $2$ .

$- \frac{x^{3}}{2} \cdot 2 + \frac{3 x}{2} \cdot 2 - 1 \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x^{3}}{2}$ dans le numérateur.

$\frac{- x^{3}}{2} \cdot 2 + \frac{3 x}{2} \cdot 2 - 1 \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Étape 1.2.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- x^{3}}{2} \cdot 2 + \frac{3 x}{2} \cdot 2 - 1 \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Étape 1.2.3.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$- x^{3} + \frac{3 x}{2} \cdot 2 - 1 \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Étape 1.2.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$- x^{3} + \frac{3 x}{2} \cdot 2 - 1 \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Étape 1.2.3.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$- x^{3} + 3 x - 1 \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Étape 1.2.3.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- x^{3} + 3 x - 2 = 0 \cdot 2$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

Multipliez $0$ par $2$ .

$- x^{3} + 3 x - 2 = 0$

Étape 1.2.4

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.4.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{3} + 3 x - 2$ .

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Étape 1.2.4.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{3}$ .

$- (x^{3}) + 3 x - 2 = 0$

Étape 1.2.4.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $3 x$ .

$- (x^{3}) - (- 3 x) - 2 = 0$

Étape 1.2.4.1.3

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$- (x^{3}) - (- 3 x) - 1 \cdot 2 = 0$

Étape 1.2.4.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{3}) - (- 3 x)$ .

$- (x^{3} - 3 x) - 1 \cdot 2 = 0$

Étape 1.2.4.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{3} - 3 x) - 1 (2)$ .

$- (x^{3} - 3 x + 2) = 0$

Étape 1.2.4.2

Factorisez $x^{3} - 3 x + 2$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.2.4.2.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Étape 1.2.4.2.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 2$

Étape 1.2.4.2.3

Remplacez $1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $1$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.2.4.2.3.1

Remplacez $1$ dans le polynôme.

$1^{3} - 3 \cdot 1 + 2$

Étape 1.2.4.2.3.2

Élevez $1$ à la puissance $3$ .

$1 - 3 \cdot 1 + 2$

Étape 1.2.4.2.3.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$1 - 3 + 2$

Étape 1.2.4.2.3.4

Soustrayez $3$ de $1$ .

$- 2 + 2$

Étape 1.2.4.2.3.5

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$0$

Étape 1.2.4.2.4

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 3 x + 2}{x - 1}$

Étape 1.2.4.2.5

Divisez $x^{3} - 3 x + 2$ par $x - 1$ .

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Étape 1.2.4.2.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2$

Étape 1.2.4.2.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$

Étape 1.2.4.2.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 1.2.4.2.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 1.2.4.2.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

Étape 1.2.4.2.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$

Étape 1.2.4.2.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$

Étape 1.2.4.2.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

Étape 1.2.4.2.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{2} - x$

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Étape 1.2.4.2.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$

Étape 1.2.4.2.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$

Étape 1.2.4.2.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 2 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$

Étape 1.2.4.2.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	+	$2$

Étape 1.2.4.2.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 2 x + 2$

				$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	-	$2$

Étape 1.2.4.2.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	-	$2$
										$0$

Étape 1.2.4.2.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} + x - 2$

Étape 1.2.4.2.6

Écrivez $x^{3} - 3 x + 2$ comme un ensemble de facteurs.

$- ((x - 1) (x^{2} + x - 2)) = 0$

Étape 1.2.4.3

Factorisez $x^{2} + x - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.4.3.1

Factorisez $x^{2} + x - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.4.3.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $1$ .

$- 1, 2$

Étape 1.2.4.3.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- ((x - 1) ((x - 1) (x + 2))) = 0$

Étape 1.2.4.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- ((x - 1) (x - 1) (x + 2)) = 0$

Étape 1.2.4.4

Factorisez.

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Étape 1.2.4.4.1

Associez les facteurs similaires.

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Étape 1.2.4.4.1.1

Élevez $x - 1$ à la puissance $1$ .

$- ((x - 1) (x - 1) (x + 2)) = 0$

Étape 1.2.4.4.1.2

Élevez $x - 1$ à la puissance $1$ .

$- ((x - 1) (x - 1) (x + 2)) = 0$

Étape 1.2.4.4.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- ({(x - 1)}^{1 + 1} (x + 2)) = 0$

Étape 1.2.4.4.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$- ({(x - 1)}^{2} (x + 2)) = 0$

Étape 1.2.4.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- {(x - 1)}^{2} (x + 2) = 0$

Étape 1.2.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 1.2.6

Définissez ${(x - 1)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.6.1

Définissez ${(x - 1)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Étape 1.2.6.2

Résolvez ${(x - 1)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.6.2.1

Définissez le $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 1.2.6.2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 1.2.7

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.7.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 1.2.7.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 1.2.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- {(x - 1)}^{2} (x + 2) = 0$ vraie.

$x = 1, - 2$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(1, 0), (- 2, 0)$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot (0) - 1$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{1}{2} \cdot 0^{3} + \frac{3}{2} \cdot (0) - 1$

Étape 2.2.2

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $0$ .

$y = - \frac{1}{2} \cdot 0^{3} + \frac{3}{2} \cdot 0 - 1$

Étape 2.2.3

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot (0) - 1$

Étape 2.2.4

Simplifiez $- \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot (0) - 1$ .

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Étape 2.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.4.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = - \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{3}{2} \cdot (0) - 1$

Étape 2.2.4.1.2

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot 0$ .

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Étape 2.2.4.1.2.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$y = 0 (\frac{1}{2}) + \frac{3}{2} \cdot (0) - 1$

Étape 2.2.4.1.2.2

Multipliez $0$ par $\frac{1}{2}$ .

$y = 0 + \frac{3}{2} \cdot (0) - 1$

Étape 2.2.4.1.3

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $0$ .

$y = 0 + 0 - 1$

Étape 2.2.4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.2.4.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 - 1$

Étape 2.2.4.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$y = - 1$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - 1)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(1, 0), (- 2, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - 1)$

Étape 4