Pré-calcul Exemples

$y = 4 x^{6} + 3 x^{5} - 7 x^{3} - 5 x^{2} + 11$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{6} + 3 x^{5} - 7 x^{3} - 5 x^{2} + 11$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{6}] + \frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{6}] + \frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{6}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{6}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$4 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

Étape 1.2.3

Multipliez $6$ par $4$ .

$24 x^{5} + \frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{5}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$24 x^{5} + 3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$24 x^{5} + 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

Étape 1.3.3

Multipliez $5$ par $3$ .

$24 x^{5} + 15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$24 x^{5} + 15 x^{4} - 7 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$24 x^{5} + 15 x^{4} - 7 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

Étape 1.4.3

Multipliez $3$ par $- 7$ .

$24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

Étape 1.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

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Étape 1.5.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

Étape 1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [11]$

Étape 1.5.3

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} - 10 x + \frac{d}{d x} [11]$

Étape 1.6

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.6.1

Comme $11$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $11$ par rapport à $x$ est $0$ .

$24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} - 10 x + 0$

Étape 1.6.2

Additionnez $24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} - 10 x$ et $0$ .

$f' (x) = 24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} - 10 x$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} - 10 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [24 x^{5}] + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

$\frac{d}{d x} [24 x^{5}] + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [24 x^{5}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $24 x^{5}$ par rapport à $x$ est $24 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$24 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$24 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Étape 2.2.3

Multipliez $5$ par $24$ .

$120 x^{4} + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $15 x^{4}$ par rapport à $x$ est $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$120 x^{4} + 15 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$120 x^{4} + 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Étape 2.3.3

Multipliez $4$ par $15$ .

$120 x^{4} + 60 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 21 x^{2}]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $- 21$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 21 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 21 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$120 x^{4} + 60 x^{3} - 21 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$120 x^{4} + 60 x^{3} - 21 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Étape 2.4.3

Multipliez $2$ par $- 21$ .

$120 x^{4} + 60 x^{3} - 42 x + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Étape 2.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

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Étape 2.5.1

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 10 x$ par rapport à $x$ est $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$120 x^{4} + 60 x^{3} - 42 x - 10 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$120 x^{4} + 60 x^{3} - 42 x - 10 \cdot 1$

Étape 2.5.3

Multipliez $- 10$ par $1$ .

$f'' (x) = 120 x^{4} + 60 x^{3} - 42 x - 10$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $120 x^{4} + 60 x^{3} - 42 x - 10$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [120 x^{4}] + \frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$\frac{d}{d x} [120 x^{4}] + \frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [120 x^{4}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $120$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $120 x^{4}$ par rapport à $x$ est $120 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$120 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$120 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Étape 3.2.3

Multipliez $4$ par $120$ .

$480 x^{3} + \frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [60 x^{3}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $60$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $60 x^{3}$ par rapport à $x$ est $60 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$480 x^{3} + 60 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$480 x^{3} + 60 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Étape 3.3.3

Multipliez $3$ par $60$ .

$480 x^{3} + 180 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 42 x]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $- 42$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 42 x$ par rapport à $x$ est $- 42 \frac{d}{d x} [x]$ .

$480 x^{3} + 180 x^{2} - 42 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$480 x^{3} + 180 x^{2} - 42 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10]$

Étape 3.4.3

Multipliez $- 42$ par $1$ .

$480 x^{3} + 180 x^{2} - 42 + \frac{d}{d x} [- 10]$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.5.1

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 10$ par rapport à $x$ est $0$ .

$480 x^{3} + 180 x^{2} - 42 + 0$

Étape 3.5.2

Additionnez $480 x^{3} + 180 x^{2} - 42$ et $0$ .

$f''' (x) = 480 x^{3} + 180 x^{2} - 42$