Pré-calcul Exemples

$(\csc (θ) + \cot (θ)) (\csc (θ) - \cot (θ)) = 1$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$(\csc (θ) + \cot (θ)) (\csc (θ) - \cot (θ))$

Étape 2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $\csc (θ)$ en termes de sinus et de cosinus.

$(\frac{1}{\sin (θ)} + \cot (θ)) (\csc (θ) - \cot (θ))$

Étape 2.1.2

Réécrivez $\cot (θ)$ en termes de sinus et de cosinus.

$(\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) (\csc (θ) - \cot (θ))$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $\csc (θ)$ en termes de sinus et de cosinus.

$(\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) (\frac{1}{\sin (θ)} - \cot (θ))$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\cot (θ)$ en termes de sinus et de cosinus.

$(\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) (\frac{1}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Étape 2.3

Développez $(\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) (\frac{1}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\sin (θ)} (\frac{1}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (\frac{1}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Étape 2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} + \frac{1}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (\frac{1}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Étape 2.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} + \frac{1}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Étape 2.4

Associez les termes opposés dans $\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} + \frac{1}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$ .

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Étape 2.4.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $\frac{1}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$ et $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)}$ .

$\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} - \frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} + \frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Étape 2.4.2

Additionnez $- \frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ et $\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} + 0 + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Étape 2.4.3

Additionnez $\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)}$ et $0$ .

$\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Étape 2.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.1

Multipliez $\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)}$ .

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Étape 2.5.1.1

Multipliez $\frac{1}{\sin (θ)}$ par $\frac{1}{\sin (θ)}$ .

$\frac{1}{\sin (θ) \sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Étape 2.5.1.2

Élevez $\sin (θ)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\sin^{1} (θ) \sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Étape 2.5.1.3

Élevez $\sin (θ)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Étape 2.5.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{{\sin (θ)}^{1 + 1}} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Étape 2.5.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Étape 2.5.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Étape 2.5.3

Multipliez $- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

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Étape 2.5.3.1

Multipliez $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ par $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{\cos (θ) \cos (θ)}{\sin (θ) \sin (θ)}$

Étape 2.5.3.2

Élevez $\cos (θ)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{\cos^{1} (θ) \cos (θ)}{\sin (θ) \sin (θ)}$

Étape 2.5.3.3

Élevez $\cos (θ)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)}{\sin (θ) \sin (θ)}$

Étape 2.5.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{{\cos (θ)}^{1 + 1}}{\sin (θ) \sin (θ)}$

Étape 2.5.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ) \sin (θ)}$

Étape 2.5.3.6

Élevez $\sin (θ)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin^{1} (θ) \sin (θ)}$

Étape 2.5.3.7

Élevez $\sin (θ)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)}$

Étape 2.5.3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{\cos^{2} (θ)}{{\sin (θ)}^{1 + 1}}$

Étape 2.5.3.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}$

Étape 2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - \cos^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}$

Étape 2.7

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}$

Étape 2.8

Annulez le facteur commun de $\sin^{2} (θ)$ .

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Étape 2.8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}$

Étape 2.8.2

Réécrivez l’expression.

$1$

Étape 3

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$(\csc (θ) + \cot (θ)) (\csc (θ) - \cot (θ)) = 1$ est une identité