Pré-calcul Exemples

$2 x^{6} - 3 x^{5} - 13 x^{4} + 29 x^{3} - 27 x^{2} + 32 x - 12$

Étape 1

Définissez $2 x^{6} - 3 x^{5} - 13 x^{4} + 29 x^{3} - 27 x^{2} + 32 x - 12$ égal à $0$ .

$2 x^{6} - 3 x^{5} - 13 x^{4} + 29 x^{3} - 27 x^{2} + 32 x - 12 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Factorisez $2 x^{6} - 3 x^{5} - 13 x^{4} + 29 x^{3} - 27 x^{2} + 32 x - 12$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.1.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 2.1.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 12, \pm 6, \pm 2, \pm 3, \pm 1.5, \pm 4$

Étape 2.1.1.3

Remplacez $0.5$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $0.5$ est une racine du polynôme.

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Étape 2.1.1.3.1

Remplacez $0.5$ dans le polynôme.

$2 \cdot {0.5}^{6} - 3 \cdot {0.5}^{5} - 13 \cdot {0.5}^{4} + 29 \cdot {0.5}^{3} - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

Étape 2.1.1.3.2

Élevez $0.5$ à la puissance $6$ .

$2 \cdot 0.015625 - 3 \cdot {0.5}^{5} - 13 \cdot {0.5}^{4} + 29 \cdot {0.5}^{3} - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

Étape 2.1.1.3.3

Multipliez $2$ par $0.015625$ .

$0.03125 - 3 \cdot {0.5}^{5} - 13 \cdot {0.5}^{4} + 29 \cdot {0.5}^{3} - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

Étape 2.1.1.3.4

Élevez $0.5$ à la puissance $5$ .

$0.03125 - 3 \cdot 0.03125 - 13 \cdot {0.5}^{4} + 29 \cdot {0.5}^{3} - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

Étape 2.1.1.3.5

Multipliez $- 3$ par $0.03125$ .

$0.03125 - 0.09375 - 13 \cdot {0.5}^{4} + 29 \cdot {0.5}^{3} - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

Étape 2.1.1.3.6

Soustrayez $0.09375$ de $0.03125$ .

$- 0.0625 - 13 \cdot {0.5}^{4} + 29 \cdot {0.5}^{3} - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

Étape 2.1.1.3.7

Élevez $0.5$ à la puissance $4$ .

$- 0.0625 - 13 \cdot 0.0625 + 29 \cdot {0.5}^{3} - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

Étape 2.1.1.3.8

Multipliez $- 13$ par $0.0625$ .

$- 0.0625 - 0.8125 + 29 \cdot {0.5}^{3} - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

Étape 2.1.1.3.9

Soustrayez $0.8125$ de $- 0.0625$ .

$- 0.875 + 29 \cdot {0.5}^{3} - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

Étape 2.1.1.3.10

Élevez $0.5$ à la puissance $3$ .

$- 0.875 + 29 \cdot 0.125 - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

Étape 2.1.1.3.11

Multipliez $29$ par $0.125$ .

$- 0.875 + 3.625 - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

Étape 2.1.1.3.12

Additionnez $- 0.875$ et $3.625$ .

$2.75 - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

Étape 2.1.1.3.13

Élevez $0.5$ à la puissance $2$ .

$2.75 - 27 \cdot 0.25 + 32 \cdot 0.5 - 12$

Étape 2.1.1.3.14

Multipliez $- 27$ par $0.25$ .

$2.75 - 6.75 + 32 \cdot 0.5 - 12$

Étape 2.1.1.3.15

Soustrayez $6.75$ de $2.75$ .

$- 4 + 32 \cdot 0.5 - 12$

Étape 2.1.1.3.16

Multipliez $32$ par $0.5$ .

$- 4 + 16 - 12$

Étape 2.1.1.3.17

Additionnez $- 4$ et $16$ .

$12 - 12$

Étape 2.1.1.3.18

Soustrayez $12$ de $12$ .

$0$

Étape 2.1.1.4

Comme $0.5$ est une racine connue, divisez le polynôme par $2 x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 x^{6} - 3 x^{5} - 13 x^{4} + 29 x^{3} - 27 x^{2} + 32 x - 12}{2 x - 1}$

Étape 2.1.1.5

Divisez $2 x^{6} - 3 x^{5} - 13 x^{4} + 29 x^{3} - 27 x^{2} + 32 x - 12$ par $2 x - 1$ .

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Étape 2.1.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

Étape 2.1.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{6}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

					$x^{5}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{6}$	-	$3 x^{5}$	-	$13 x^{4}$	+	$29 x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$32 x$	-	$12$

Étape 2.1.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{5}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

Étape 2.1.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{6} - x^{5}$

$x^{5}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

Étape 2.1.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{5}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

Étape 2.1.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{5}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{6}$	-	$3 x^{5}$	-	$13 x^{4}$	+	$29 x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$32 x$	-	$12$
			-	$2 x^{6}$	+	$x^{5}$
					-	$2 x^{5}$	-	$13 x^{4}$

Étape 2.1.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 2 x^{5}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$x^{5}$	-	$x^{4}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{6}$	-	$3 x^{5}$	-	$13 x^{4}$	+	$29 x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$32 x$	-	$12$
			-	$2 x^{6}$	+	$x^{5}$
					-	$2 x^{5}$	-	$13 x^{4}$

Étape 2.1.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{5}$

$x^{4}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

Étape 2.1.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 2 x^{5} + x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

Étape 2.1.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{5}$

$x^{4}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

Étape 2.1.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{5}$

$x^{4}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

Étape 2.1.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 14 x^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

Étape 2.1.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

Étape 2.1.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 14 x^{4} + 7 x^{3}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

Étape 2.1.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

Étape 2.1.1.5.16

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

Étape 2.1.1.5.17

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $22 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

Étape 2.1.1.5.18

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

Étape 2.1.1.5.19

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $22 x^{3} - 11 x^{2}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

Étape 2.1.1.5.20

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

Étape 2.1.1.5.21

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

$32 x$

Étape 2.1.1.5.22

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 16 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$8 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

$32 x$

Étape 2.1.1.5.23

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$8 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

$32 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

Étape 2.1.1.5.24

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 16 x^{2} + 8 x$

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$8 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

$32 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

Étape 2.1.1.5.25

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$8 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

$32 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

$24 x$

Étape 2.1.1.5.26

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$8 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

$32 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

$24 x$

$12$

Étape 2.1.1.5.27

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $24 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$8 x$

$12$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

$32 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

$24 x$

$12$

Étape 2.1.1.5.28

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$8 x$

$12$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

$32 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

$24 x$

$12$

$24 x$

$12$

Étape 2.1.1.5.29

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $24 x - 12$

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$8 x$

$12$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

$32 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

$24 x$

$12$

$24 x$

$12$

Étape 2.1.1.5.30

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$8 x$

$12$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

$32 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

$24 x$

$12$

$24 x$

$12$

$0$

Étape 2.1.1.5.31

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{5} - x^{4} - 7 x^{3} + 11 x^{2} - 8 x + 12$

Étape 2.1.1.6

Écrivez $2 x^{6} - 3 x^{5} - 13 x^{4} + 29 x^{3} - 27 x^{2} + 32 x - 12$ comme un ensemble de facteurs.

$(2 x - 1) (x^{5} - x^{4} - 7 x^{3} + 11 x^{2} - 8 x + 12) = 0$

Étape 2.1.2

Regroupez les termes.

$(2 x - 1) (x^{5} - x^{4} - 8 x - 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12) = 0$

Étape 2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{5} - x^{4} - 8 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{5}$ .

$(2 x - 1) (x \cdot x^{4} - x^{4} - 8 x - 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12) = 0$

Étape 2.1.3.2

Factorisez $x$ à partir de $- x^{4}$ .

$(2 x - 1) (x \cdot x^{4} + x (- x^{3}) - 8 x - 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12) = 0$

Étape 2.1.3.3

Factorisez $x$ à partir de $- 8 x$ .

$(2 x - 1) (x \cdot x^{4} + x (- x^{3}) + x \cdot - 8 - 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12) = 0$

Étape 2.1.3.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{4} + x (- x^{3})$ .

$(2 x - 1) (x (x^{4} - x^{3}) + x \cdot - 8 - 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12) = 0$

Étape 2.1.3.5

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{4} - x^{3}) + x \cdot - 8$ .

$(2 x - 1) (x (x^{4} - x^{3} - 8) - 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12) = 0$

Étape 2.1.4

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.4.1

Factorisez $x^{4} - x^{3} - 8$ en utilisant le test des racines rationnelles.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.4.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

Étape 2.1.4.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

Étape 2.1.4.1.3

Remplacez $2$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $2$ est une racine du polynôme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.4.1.3.1

Remplacez $2$ dans le polynôme.

$2^{4} - 2^{3} - 8$

Étape 2.1.4.1.3.2

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$16 - 2^{3} - 8$

Étape 2.1.4.1.3.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$16 - 1 \cdot 8 - 8$

Étape 2.1.4.1.3.4

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$16 - 8 - 8$

Étape 2.1.4.1.3.5

Soustrayez $8$ de $16$ .

$8 - 8$

Étape 2.1.4.1.3.6

Soustrayez $8$ de $8$ .

$0$

Étape 2.1.4.1.4

Comme $2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{4} - x^{3} - 8}{x - 2}$

Étape 2.1.4.1.5

Divisez $x^{4} - x^{3} - 8$ par $x - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.4.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

Étape 2.1.4.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

Étape 2.1.4.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Étape 2.1.4.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{4} - 2 x^{3}$

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Étape 2.1.4.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

Étape 2.1.4.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

Étape 2.1.4.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

Étape 2.1.4.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

Étape 2.1.4.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - 2 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

Étape 2.1.4.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

Étape 2.1.4.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

Étape 2.1.4.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

Étape 2.1.4.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$4 x$

Étape 2.1.4.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{2} - 4 x$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$4 x$

Étape 2.1.4.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$4 x$

Étape 2.1.4.1.5.16

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$4 x$

$8$

Étape 2.1.4.1.5.17

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $4 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$4$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$4 x$

$8$

Étape 2.1.4.1.5.18

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$4$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$4 x$

$8$

$4 x$

$8$

Étape 2.1.4.1.5.19

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $4 x - 8$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$4$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$4 x$

$8$

$4 x$

$8$

Étape 2.1.4.1.5.20

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$4$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$4 x$

$8$

$4 x$

$8$

$0$

Étape 2.1.4.1.5.21

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{3} + x^{2} + 2 x + 4$

Étape 2.1.4.1.6

Écrivez $x^{4} - x^{3} - 8$ comme un ensemble de facteurs.

$(2 x - 1) (x ((x - 2) (x^{3} + x^{2} + 2 x + 4)) - 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12) = 0$

Étape 2.1.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(2 x - 1) (x (x - 2) (x^{3} + x^{2} + 2 x + 4) - 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12) = 0$

Étape 2.1.5

Factorisez $- 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12$ en utilisant le test des racines rationnelles.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.5.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 7$

Étape 2.1.5.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.\overline{142857}, \pm 12, \pm 1.\overline{714285}, \pm 2, \pm 0.\overline{285714}, \pm 6, \pm 0.\overline{857142}, \pm 3, \pm 0.\overline{428571}, \pm 4, \pm 0.\overline{571428}$

Étape 2.1.5.3

Remplacez $2$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $2$ est une racine du polynôme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.5.3.1

Remplacez $2$ dans le polynôme.

$- 7 \cdot 2^{3} + 11 \cdot 2^{2} + 12$

Étape 2.1.5.3.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$- 7 \cdot 8 + 11 \cdot 2^{2} + 12$

Étape 2.1.5.3.3

Multipliez $- 7$ par $8$ .

$- 56 + 11 \cdot 2^{2} + 12$

Étape 2.1.5.3.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- 56 + 11 \cdot 4 + 12$

Étape 2.1.5.3.5

Multipliez $11$ par $4$ .

$- 56 + 44 + 12$

Étape 2.1.5.3.6

Additionnez $- 56$ et $44$ .

$- 12 + 12$

Étape 2.1.5.3.7

Additionnez $- 12$ et $12$ .

$0$

Étape 2.1.5.4

Comme $2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{- 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12}{x - 2}$

Étape 2.1.5.5

Divisez $- 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12$ par $x - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.5.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$2$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$0 x$

$12$

Étape 2.1.5.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 7 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				-	$7 x^{2}$
	$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$

Étape 2.1.5.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$7 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			-	$7 x^{3}$	+	$14 x^{2}$

Étape 2.1.5.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 7 x^{3} + 14 x^{2}$

			-	$7 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$

Étape 2.1.5.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$7 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

Étape 2.1.5.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$7 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$

Étape 2.1.5.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 3 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

			-	$7 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$

Étape 2.1.5.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$7 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$

Étape 2.1.5.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 3 x^{2} + 6 x$

			-	$7 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$

Étape 2.1.5.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$7 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$

Étape 2.1.5.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$7 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$12$

Étape 2.1.5.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 6 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

			-	$7 x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$12$

Étape 2.1.5.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$7 x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$12$
							-	$6 x$	+	$12$

Étape 2.1.5.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 6 x + 12$

			-	$7 x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$12$
							+	$6 x$	-	$12$

Étape 2.1.5.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$7 x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$12$
							+	$6 x$	-	$12$
										$0$

Étape 2.1.5.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$- 7 x^{2} - 3 x - 6$

Étape 2.1.5.6

Écrivez $- 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12$ comme un ensemble de facteurs.

$(2 x - 1) (x (x - 2) (x^{3} + x^{2} + 2 x + 4) + (x - 2) (- 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Étape 2.1.6

Factorisez $x - 2$ à partir de $x (x - 2) (x^{3} + x^{2} + 2 x + 4) + (x - 2) (- 7 x^{2} - 3 x - 6)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.6.1

Factorisez $x - 2$ à partir de $x (x - 2) (x^{3} + x^{2} + 2 x + 4)$ .

$(2 x - 1) ((x - 2) (x (x^{3} + x^{2} + 2 x + 4)) + (x - 2) (- 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Étape 2.1.6.2

Factorisez $x - 2$ à partir de $(x - 2) (x (x^{3} + x^{2} + 2 x + 4)) + (x - 2) (- 7 x^{2} - 3 x - 6)$ .

$(2 x - 1) ((x - 2) (x (x^{3} + x^{2} + 2 x + 4) - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Étape 2.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$(2 x - 1) ((x - 2) (x \cdot x^{3} + x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Étape 2.1.8

Simplifiez

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Étape 2.1.8.1

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.8.1.1

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 2.1.8.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(2 x - 1) ((x - 2) (x \cdot x^{3} + x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Étape 2.1.8.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{1 + 3} + x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Étape 2.1.8.1.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Étape 2.1.8.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.8.2.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.8.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Étape 2.1.8.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x^{1 + 2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Étape 2.1.8.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x^{3} + x (2 x) + x \cdot 4 - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Étape 2.1.8.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x^{3} + 2 x \cdot x + x \cdot 4 - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Étape 2.1.8.4

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x^{3} + 2 x \cdot x + 4 \cdot x - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Étape 2.1.9

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.9.1

Déplacez $x$ .

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x^{3} + 2 (x \cdot x) + 4 \cdot x - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Étape 2.1.9.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x^{3} + 2 x^{2} + 4 \cdot x - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Étape 2.1.10

Soustrayez $7 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 3 x - 6)) = 0$

Étape 2.1.11

Soustrayez $3 x$ de $4 x$ .

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Étape 2.1.11.1

Soustrayez $3 x$ de $4 x$ .

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + x - 6)) = 0$

Étape 2.1.11.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(2 x - 1) (x - 2) (x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + x - 6) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + x - 6 = 0$

Étape 2.3

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Étape 2.3.2

Résolvez $2 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 1$

Étape 2.3.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 2.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 2.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 2.4

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 2.5

Définissez $x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Définissez $x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + x - 6$ égal à $0$ .

$x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + x - 6 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + x - 6 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.5.2.1.1

Regroupez les termes.

$x^{3} + x + x^{4} - 5 x^{2} - 6 = 0$

Étape 2.5.2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} + x$ .

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Étape 2.5.2.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} + x + x^{4} - 5 x^{2} - 6 = 0$

Étape 2.5.2.1.2.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x \cdot x^{2} + x + x^{4} - 5 x^{2} - 6 = 0$

Étape 2.5.2.1.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot 1 + x^{4} - 5 x^{2} - 6 = 0$

Étape 2.5.2.1.2.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x \cdot 1$ .

$x (x^{2} + 1) + x^{4} - 5 x^{2} - 6 = 0$

Étape 2.5.2.1.3

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (x^{2} + 1) + {(x^{2})}^{2} - 5 x^{2} - 6 = 0$

Étape 2.5.2.1.4

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$x (x^{2} + 1) + u^{2} - 5 u - 6 = 0$

Étape 2.5.2.1.5

Factorisez $u^{2} - 5 u - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.5.2.1.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $- 5$ .

$- 6, 1$

Étape 2.5.2.1.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$x (x^{2} + 1) + (u - 6) (u + 1) = 0$

Étape 2.5.2.1.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$x (x^{2} + 1) + (x^{2} - 6) (x^{2} + 1) = 0$

Étape 2.5.2.1.7

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de $x (x^{2} + 1) + (x^{2} - 6) (x^{2} + 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.1.7.1

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de $x (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 1) x + (x^{2} - 6) (x^{2} + 1) = 0$

Étape 2.5.2.1.7.2

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de $(x^{2} - 6) (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 1) x + (x^{2} + 1) (x^{2} - 6) = 0$

Étape 2.5.2.1.7.3

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de $(x^{2} + 1) x + (x^{2} + 1) (x^{2} - 6)$ .

$(x^{2} + 1) (x + x^{2} - 6) = 0$

Étape 2.5.2.1.8

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$(x^{2} + 1) (u + u^{2} - 6) = 0$

Étape 2.5.2.1.9

Factorisez $u + u^{2} - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.5.2.1.9.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $1$ .

$- 2, 3$

Étape 2.5.2.1.9.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x^{2} + 1) ((u - 2) (u + 3)) = 0$

Étape 2.5.2.1.10

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.1.10.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$(x^{2} + 1) ((x - 2) (x + 3)) = 0$

Étape 2.5.2.1.10.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x^{2} + 1) (x - 2) (x + 3) = 0$

Étape 2.5.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 2.5.2.3

Définissez $x^{2} + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.2.3.1

Définissez $x^{2} + 1$ égal à $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Étape 2.5.2.3.2

Résolvez $x^{2} + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 1$

Étape 2.5.2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Étape 2.5.2.3.2.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i$

Étape 2.5.2.3.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.5.2.3.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i$

Étape 2.5.2.3.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i$

Étape 2.5.2.3.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i, - i$

Étape 2.5.2.4

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.4.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 2.5.2.4.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 2.5.2.5

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.5.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 2.5.2.5.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 2.5.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x^{2} + 1) (x - 2) (x + 3) = 0$ vraie.

$x = i, - i, 2, - 3$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 x - 1) (x - 2) (x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + x - 6) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{2}, 2, i, - i, - 3$

Étape 3