Pré-calcul Exemples

$x^{5} - x^{4} - 5 x^{3} + x^{2} + 8 x + 4$

Étape 1

Définissez $x^{5} - x^{4} - 5 x^{3} + x^{2} + 8 x + 4$ égal à $0$ .

$x^{5} - x^{4} - 5 x^{3} + x^{2} + 8 x + 4 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Regroupez les termes.

$x^{5} + x^{2} - x^{4} - 5 x^{3} + 8 x + 4 = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{5} + x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{5}$ .

$x^{2} x^{3} + x^{2} - x^{4} - 5 x^{3} + 8 x + 4 = 0$

Étape 2.1.2.2

Multipliez par $1$ .

$x^{2} x^{3} + x^{2} \cdot 1 - x^{4} - 5 x^{3} + 8 x + 4 = 0$

Étape 2.1.2.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x^{3} + x^{2} \cdot 1$ .

$x^{2} (x^{3} + 1) - x^{4} - 5 x^{3} + 8 x + 4 = 0$

Étape 2.1.3

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$x^{2} (x^{3} + 1^{3}) - x^{4} - 5 x^{3} + 8 x + 4 = 0$

Étape 2.1.4

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$x^{2} ((x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})) - x^{4} - 5 x^{3} + 8 x + 4 = 0$

Étape 2.1.5

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.5.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.5.1.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x^{2} ((x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})) - x^{4} - 5 x^{3} + 8 x + 4 = 0$

Étape 2.1.5.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x^{2} ((x + 1) (x^{2} - x + 1)) - x^{4} - 5 x^{3} + 8 x + 4 = 0$

Étape 2.1.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x^{2} (x + 1) (x^{2} - x + 1) - x^{4} - 5 x^{3} + 8 x + 4 = 0$

Étape 2.1.6

Factorisez $- x^{4} - 5 x^{3} + 8 x + 4$ en utilisant le test des racines rationnelles.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.6.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Étape 2.1.6.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Étape 2.1.6.3

Remplacez $- 1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 1$ est une racine du polynôme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.6.3.1

Remplacez $- 1$ dans le polynôme.

$- {(- 1)}^{4} - 5 {(- 1)}^{3} + 8 \cdot - 1 + 4$

Étape 2.1.6.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$- 1 \cdot 1 - 5 {(- 1)}^{3} + 8 \cdot - 1 + 4$

Étape 2.1.6.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1 - 5 {(- 1)}^{3} + 8 \cdot - 1 + 4$

Étape 2.1.6.3.4

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- 1 - 5 \cdot - 1 + 8 \cdot - 1 + 4$

Étape 2.1.6.3.5

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$- 1 + 5 + 8 \cdot - 1 + 4$

Étape 2.1.6.3.6

Additionnez $- 1$ et $5$ .

$4 + 8 \cdot - 1 + 4$

Étape 2.1.6.3.7

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$4 - 8 + 4$

Étape 2.1.6.3.8

Soustrayez $8$ de $4$ .

$- 4 + 4$

Étape 2.1.6.3.9

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$0$

Étape 2.1.6.4

Comme $- 1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{- x^{4} - 5 x^{3} + 8 x + 4}{x + 1}$

Étape 2.1.6.5

Divisez $- x^{4} - 5 x^{3} + 8 x + 4$ par $x + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.6.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

Étape 2.1.6.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

Étape 2.1.6.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

Étape 2.1.6.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x^{4} - x^{3}$

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

Étape 2.1.6.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

Étape 2.1.6.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

Étape 2.1.6.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 4 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

Étape 2.1.6.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

Étape 2.1.6.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 4 x^{3} - 4 x^{2}$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

Étape 2.1.6.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

Étape 2.1.6.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$8 x$

Étape 2.1.6.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $4 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$8 x$

Étape 2.1.6.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$8 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

Étape 2.1.6.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $4 x^{2} + 4 x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$8 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

Étape 2.1.6.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$8 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

Étape 2.1.6.5.16

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$8 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

Étape 2.1.6.5.17

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $4 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$8 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

Étape 2.1.6.5.18

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$8 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

$4 x$

$4$

Étape 2.1.6.5.19

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $4 x + 4$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$8 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

$4 x$

$4$

Étape 2.1.6.5.20

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$8 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

$4 x$

$4$

$0$

Étape 2.1.6.5.21

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$- x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 4$

Étape 2.1.6.6

Écrivez $- x^{4} - 5 x^{3} + 8 x + 4$ comme un ensemble de facteurs.

$x^{2} (x + 1) (x^{2} - x + 1) + (x + 1) (- x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

Étape 2.1.7

Factorisez $x + 1$ à partir de $x^{2} (x + 1) (x^{2} - x + 1) + (x + 1) (- x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 4)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.7.1

Factorisez $x + 1$ à partir de $x^{2} (x + 1) (x^{2} - x + 1)$ .

$(x + 1) (x^{2} (x^{2} - x + 1)) + (x + 1) (- x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

Étape 2.1.7.2

Factorisez $x + 1$ à partir de $(x + 1) (x^{2} (x^{2} - x + 1)) + (x + 1) (- x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 4)$ .

$(x + 1) (x^{2} (x^{2} - x + 1) - x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

Étape 2.1.8

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 1) (x^{2} x^{2} + x^{2} (- x) + x^{2} \cdot 1 - x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

Étape 2.1.9

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.9.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.9.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(x + 1) (x^{2 + 2} + x^{2} (- x) + x^{2} \cdot 1 - x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

Étape 2.1.9.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$(x + 1) (x^{4} + x^{2} (- x) + x^{2} \cdot 1 - x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

Étape 2.1.9.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(x + 1) (x^{4} - x^{2} x + x^{2} \cdot 1 - x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

Étape 2.1.9.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$(x + 1) (x^{4} - x^{2} x + x^{2} - x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

Étape 2.1.10

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.10.1

Déplacez $x$ .

$(x + 1) (x^{4} - (x \cdot x^{2}) + x^{2} - x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

Étape 2.1.10.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.10.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(x + 1) (x^{4} - (x \cdot x^{2}) + x^{2} - x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

Étape 2.1.10.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(x + 1) (x^{4} - x^{1 + 2} + x^{2} - x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

Étape 2.1.10.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$(x + 1) (x^{4} - x^{3} + x^{2} - x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

Étape 2.1.11

Soustrayez $x^{3}$ de $- x^{3}$ .

$(x + 1) (x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} - 4 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

Étape 2.1.12

Soustrayez $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$(x + 1) (x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 4) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 4 = 0$

Étape 2.3

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 2.3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 2.4

Définissez $x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Définissez $x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 4$ égal à $0$ .

$x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 4 = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 4 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1.1

Regroupez les termes.

$x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 4 = 0$

Étape 2.4.2.1.2

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{4} - 2 x^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1.2.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{4}$ .

$x^{3} x - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 4 = 0$

Étape 2.4.2.1.2.2

Factorisez $x^{3}$ à partir de $- 2 x^{3}$ .

$x^{3} x + x^{3} \cdot - 2 - 3 x^{2} + 4 x + 4 = 0$

Étape 2.4.2.1.2.3

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{3} x + x^{3} \cdot - 2$ .

$x^{3} (x - 2) - 3 x^{2} + 4 x + 4 = 0$

Étape 2.4.2.1.3

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1.3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 3 \cdot 4 = - 12$ et dont la somme est $b = 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1.3.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$x^{3} (x - 2) - 3 x^{2} + 4 (x) + 4 = 0$

Étape 2.4.2.1.3.1.2

Réécrivez $4$ comme $- 2$ plus $6$

$x^{3} (x - 2) - 3 x^{2} + (- 2 + 6) x + 4 = 0$

Étape 2.4.2.1.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} (x - 2) - 3 x^{2} - 2 x + 6 x + 4 = 0$

Étape 2.4.2.1.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1.3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$x^{3} (x - 2) - 3 x^{2} - 2 x + 6 x + 4 = 0$

Étape 2.4.2.1.3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x^{3} (x - 2) + x (- 3 x - 2) - 2 (- 3 x - 2) = 0$

Étape 2.4.2.1.3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- 3 x - 2$ .

$x^{3} (x - 2) + (- 3 x - 2) (x - 2) = 0$

Étape 2.4.2.1.4

Factorisez $x - 2$ à partir de $x^{3} (x - 2) + (- 3 x - 2) (x - 2)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1.4.1

Factorisez $x - 2$ à partir de $x^{3} (x - 2)$ .

$(x - 2) x^{3} + (- 3 x - 2) (x - 2) = 0$

Étape 2.4.2.1.4.2

Factorisez $x - 2$ à partir de $(- 3 x - 2) (x - 2)$ .

$(x - 2) x^{3} + (x - 2) (- 3 x - 2) = 0$

Étape 2.4.2.1.4.3

Factorisez $x - 2$ à partir de $(x - 2) x^{3} + (x - 2) (- 3 x - 2)$ .

$(x - 2) (x^{3} - 3 x - 2) = 0$

Étape 2.4.2.1.5

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1.5.1

Réécrivez $x^{3} - 3 x - 2$ en forme factorisée.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1.5.1.1

Factorisez $x^{3} - 3 x - 2$ en utilisant le test des racines rationnelles.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1.5.1.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Étape 2.4.2.1.5.1.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 2$

Étape 2.4.2.1.5.1.1.3

Remplacez $- 1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 1$ est une racine du polynôme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1.5.1.1.3.1

Remplacez $- 1$ dans le polynôme.

${(- 1)}^{3} - 3 \cdot - 1 - 2$

Étape 2.4.2.1.5.1.1.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- 1 - 3 \cdot - 1 - 2$

Étape 2.4.2.1.5.1.1.3.3

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$- 1 + 3 - 2$

Étape 2.4.2.1.5.1.1.3.4

Additionnez $- 1$ et $3$ .

$2 - 2$

Étape 2.4.2.1.5.1.1.3.5

Soustrayez $2$ de $2$ .

$0$

Étape 2.4.2.1.5.1.1.4

Comme $- 1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 3 x - 2}{x + 1}$

Étape 2.4.2.1.5.1.1.5

Divisez $x^{3} - 3 x - 2$ par $x + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1.5.1.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2$

Étape 2.4.2.1.5.1.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$

Étape 2.4.2.1.5.1.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 2.4.2.1.5.1.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 2.4.2.1.5.1.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$

Étape 2.4.2.1.5.1.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$

Étape 2.4.2.1.5.1.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$

Étape 2.4.2.1.5.1.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

Étape 2.4.2.1.5.1.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x^{2} - x$

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Étape 2.4.2.1.5.1.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$

Étape 2.4.2.1.5.1.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$2$

Étape 2.4.2.1.5.1.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 2 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$2$

Étape 2.4.2.1.5.1.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	-	$2$

Étape 2.4.2.1.5.1.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 2 x - 2$

				$x^{2}$	-	$x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$2$
							+	$2 x$	+	$2$

Étape 2.4.2.1.5.1.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$2$
							+	$2 x$	+	$2$
										$0$

Étape 2.4.2.1.5.1.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - x - 2$

Étape 2.4.2.1.5.1.1.6

Écrivez $x^{3} - 3 x - 2$ comme un ensemble de facteurs.

$(x - 2) ((x + 1) (x^{2} - x - 2)) = 0$

Étape 2.4.2.1.5.1.2

Factorisez $x^{2} - x - 2$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1.5.1.2.1

Factorisez $x^{2} - x - 2$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1.5.1.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 2, 1$

Étape 2.4.2.1.5.1.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 2) ((x + 1) ((x - 2) (x + 1))) = 0$

Étape 2.4.2.1.5.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - 2) ((x + 1) (x - 2) (x + 1)) = 0$

Étape 2.4.2.1.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - 2) (x + 1) (x - 2) (x + 1) = 0$

Étape 2.4.2.1.6

Associez les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1.6.1

Élevez $x - 2$ à la puissance $1$ .

$(x - 2) (x - 2) (x + 1) (x + 1) = 0$

Étape 2.4.2.1.6.2

Élevez $x - 2$ à la puissance $1$ .

$(x - 2) (x - 2) (x + 1) (x + 1) = 0$

Étape 2.4.2.1.6.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(x - 2)}^{1 + 1} (x + 1) (x + 1) = 0$

Étape 2.4.2.1.6.4

Additionnez $1$ et $1$ .

${(x - 2)}^{2} (x + 1) (x + 1) = 0$

Étape 2.4.2.1.6.5

Élevez $x + 1$ à la puissance $1$ .

${(x - 2)}^{2} ((x + 1) (x + 1)) = 0$

Étape 2.4.2.1.6.6

Élevez $x + 1$ à la puissance $1$ .

${(x - 2)}^{2} ((x + 1) (x + 1)) = 0$

Étape 2.4.2.1.6.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(x - 2)}^{2} {(x + 1)}^{1 + 1} = 0$

Étape 2.4.2.1.6.8

Additionnez $1$ et $1$ .

${(x - 2)}^{2} {(x + 1)}^{2} = 0$

Étape 2.4.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

${(x + 1)}^{2} = 0$

Étape 2.4.2.3

Définissez ${(x - 2)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.3.1

Définissez ${(x - 2)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 2.4.2.3.2

Résolvez ${(x - 2)}^{2} = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.3.2.1

Définissez le $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 2.4.2.3.2.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 2.4.2.4

Définissez ${(x + 1)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.4.1

Définissez ${(x + 1)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Étape 2.4.2.4.2

Résolvez ${(x + 1)}^{2} = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.4.2.1

Définissez le $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 2.4.2.4.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 2.4.2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent ${(x - 2)}^{2} {(x + 1)}^{2} = 0$ vraie.

$x = 2, - 1$

Étape 2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 1) (x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 4) = 0$ vraie.

$x = - 1, 2$

Étape 3