Pré-calcul Exemples

$4 x^{4} - 45 x^{2} + 81$

Étape 1

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$4 {(x^{2})}^{2} - 45 x^{2} + 81$

Étape 2

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$4 u^{2} - 45 u + 81$

Étape 3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot 81 = 324$ et dont la somme est $b = - 45$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $- 45$ à partir de $- 45 u$ .

$4 u^{2} - 45 (u) + 81$

Étape 3.1.2

Réécrivez $- 45$ comme $- 9$ plus $- 36$

$4 u^{2} + (- 9 - 36) u + 81$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 u^{2} - 9 u - 36 u + 81$

Étape 3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(4 u^{2} - 9 u) - 36 u + 81$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (4 u - 9) - 9 (4 u - 9)$

Étape 3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 u - 9$ .

$(4 u - 9) (u - 9)$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$(4 x^{2} - 9) (x^{2} - 9)$

Étape 5

Réécrivez $4 x^{2}$ comme ${(2 x)}^{2}$ .

$({(2 x)}^{2} - 9) (x^{2} - 9)$

Étape 6

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$({(2 x)}^{2} - 3^{2}) (x^{2} - 9)$

Étape 7

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2 x$ et $b = 3$ .

$(2 x + 3) (2 x - 3) (x^{2} - 9)$

Étape 8

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$(2 x + 3) (2 x - 3) (x^{2} - 3^{2})$

Étape 9

Factorisez.

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Étape 9.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$(2 x + 3) (2 x - 3) ((x + 3) (x - 3))$

Étape 9.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(2 x + 3) (2 x - 3) (x + 3) (x - 3)$