Pré-calcul Exemples

$x^{4} - 3 x^{3} - 27 x + 81$

Étape 1

Définissez $x^{4} - 3 x^{3} - 27 x + 81$ égal à $0$ .

$x^{4} - 3 x^{3} - 27 x + 81 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x^{4} - 3 x^{3}) - 27 x + 81 = 0$

Étape 2.1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x^{3} (x - 3) - 27 (x - 3) = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x - 3$ .

$(x - 3) (x^{3} - 27) = 0$

Étape 2.1.3

Réécrivez $27$ comme $3^{3}$ .

$(x - 3) (x^{3} - 3^{3}) = 0$

Étape 2.1.4

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$(x - 3) ((x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

Étape 2.1.5

Factorisez.

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Étape 2.1.5.1

Simplifiez

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Étape 2.1.5.1.1

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$(x - 3) ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 3^{2})) = 0$

Étape 2.1.5.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$(x - 3) ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)) = 0$

Étape 2.1.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - 3) (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$

Étape 2.1.6

Associez les exposants.

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Étape 2.1.6.1

Élevez $x - 3$ à la puissance $1$ .

$(x - 3) (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$

Étape 2.1.6.2

Élevez $x - 3$ à la puissance $1$ .

$(x - 3) (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$

Étape 2.1.6.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(x - 3)}^{1 + 1} (x^{2} + 3 x + 9) = 0$

Étape 2.1.6.4

Additionnez $1$ et $1$ .

${(x - 3)}^{2} (x^{2} + 3 x + 9) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$

Étape 2.3

Définissez ${(x - 3)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez ${(x - 3)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Étape 2.3.2

Résolvez ${(x - 3)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Définissez le $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 2.3.2.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 2.4

Définissez $x^{2} + 3 x + 9$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x^{2} + 3 x + 9$ égal à $0$ .

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $x^{2} + 3 x + 9 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.4.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 3$ et $c = 9$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3

Simplifiez

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Étape 2.4.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.2.3.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

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Étape 2.4.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.3

Soustrayez $36$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.4

Réécrivez $- 27$ comme $- 1 (27)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (27)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.7

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.4.2.3.1.7.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.7.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.9

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.4.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent ${(x - 3)}^{2} (x^{2} + 3 x + 9) = 0$ vraie.

$x = 3, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 3