Pré-calcul Exemples

$y = - \cos (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5})$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = - \cos (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5})$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Réécrivez l’équation comme $- \cos (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5}) = 0$ .

$- \cos (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5}) = 0$

Étape 1.2.2

Divisez chaque terme dans $- \cos (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5}) = 0$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 1.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- \cos (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5}) = 0$ par $- 1$ .

$\frac{- \cos (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5})}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\cos (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5})}{1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 1.2.2.2.2

Divisez $\cos (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5})$ par $1$ .

$\cos (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5}) = \frac{0}{- 1}$

Étape 1.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.2.3.1

Divisez $0$ par $- 1$ .

$\cos (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5}) = 0$

Étape 1.2.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$\frac{1}{2} x + \frac{π}{5} = \arccos (0)$

Étape 1.2.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.4.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{5} = \arccos (0)$

Étape 1.2.5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.5.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{5} = \frac{π}{2}$

Étape 1.2.6

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.2.6.1

Soustrayez $\frac{π}{5}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2} - \frac{π}{5}$

Étape 1.2.6.2

Pour écrire $\frac{π}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2} \cdot \frac{5}{5} - \frac{π}{5}$

Étape 1.2.6.3

Pour écrire $- \frac{π}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2} \cdot \frac{5}{5} - \frac{π}{5} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 1.2.6.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $10$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.2.6.4.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 5}{2 \cdot 5} - \frac{π}{5} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 1.2.6.4.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 5}{10} - \frac{π}{5} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 1.2.6.4.3

Multipliez $\frac{π}{5}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 5}{10} - \frac{π \cdot 2}{5 \cdot 2}$

Étape 1.2.6.4.4

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 5}{10} - \frac{π \cdot 2}{10}$

Étape 1.2.6.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 5 - π \cdot 2}{10}$

Étape 1.2.6.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.6.6.1

Déplacez $5$ à gauche de $π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 \cdot π - π \cdot 2}{10}$

Étape 1.2.6.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π - 2 π}{10}$

Étape 1.2.6.6.3

Soustrayez $2 π$ de $5 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{10}$

Étape 1.2.7

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{3 π}{10}$

Étape 1.2.8

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 1.2.8.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.8.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.8.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{3 π}{10}$

Étape 1.2.8.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2 \frac{3 π}{10}$

Étape 1.2.8.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.8.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.8.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$x = 2 \frac{3 π}{2 (5)}$

Étape 1.2.8.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$x = 2 \frac{3 π}{2 \cdot 5}$

Étape 1.2.8.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{3 π}{5}$

Étape 1.2.9

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{5} = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 1.2.10

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.10.1

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 1.2.10.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{5} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 1.2.10.1.2

Associez les fractions.

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Étape 1.2.10.1.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{5} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 1.2.10.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{5} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 1.2.10.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.10.1.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{5} = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 1.2.10.1.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{5} = \frac{3 π}{2}$

Étape 1.2.10.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.2.10.2.1

Soustrayez $\frac{π}{5}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{2} - \frac{π}{5}$

Étape 1.2.10.2.2

Pour écrire $\frac{3 π}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{5}{5} - \frac{π}{5}$

Étape 1.2.10.2.3

Pour écrire $- \frac{π}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{5}{5} - \frac{π}{5} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 1.2.10.2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $10$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.2.10.2.4.1

Multipliez $\frac{3 π}{2}$ par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 5}{2 \cdot 5} - \frac{π}{5} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 1.2.10.2.4.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 5}{10} - \frac{π}{5} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 1.2.10.2.4.3

Multipliez $\frac{π}{5}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 5}{10} - \frac{π \cdot 2}{5 \cdot 2}$

Étape 1.2.10.2.4.4

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 5}{10} - \frac{π \cdot 2}{10}$

Étape 1.2.10.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 5 - π \cdot 2}{10}$

Étape 1.2.10.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.10.2.6.1

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{x}{2} = \frac{15 π - π \cdot 2}{10}$

Étape 1.2.10.2.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{x}{2} = \frac{15 π - 2 π}{10}$

Étape 1.2.10.2.6.3

Soustrayez $2 π$ de $15 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{13 π}{10}$

Étape 1.2.10.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{13 π}{10}$

Étape 1.2.10.4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 1.2.10.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.10.4.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.10.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{13 π}{10}$

Étape 1.2.10.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2 \frac{13 π}{10}$

Étape 1.2.10.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.10.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.10.4.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$x = 2 \frac{13 π}{2 (5)}$

Étape 1.2.10.4.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$x = 2 \frac{13 π}{2 \cdot 5}$

Étape 1.2.10.4.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{13 π}{5}$

Étape 1.2.11

Déterminez la période de $\cos (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5})$ .

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Étape 1.2.11.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 1.2.11.2

Remplacez $b$ par $\frac{1}{2}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Étape 1.2.11.3

$\frac{1}{2}$ est d’environ $0.5$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Étape 1.2.11.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \cdot 2$

Étape 1.2.11.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 π$

Étape 1.2.12

La période de la fonction $\cos (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5})$ est $4 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $4 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{5} + 4 π n, \frac{13 π}{5} + 4 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.2.13

Consolidez les réponses.

$x = \frac{3 π}{5} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(\frac{3 π}{5} + 2 π n, 0)$ , pour tout entier $n$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = - \cos (\frac{1}{2} \cdot (0) + \frac{π}{5})$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $0$ .

$y = - \cos (\frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{π}{5})$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - \cos (\frac{1}{2} \cdot (0) + \frac{π}{5})$

Étape 2.2.3

Simplifiez $- \cos (\frac{1}{2} \cdot (0) + \frac{π}{5})$ .

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Étape 2.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $0$ .

$y = - \cos (0 + \frac{π}{5})$

Étape 2.2.3.2

Additionnez $0$ et $\frac{π}{5}$ .

$y = - \cos (\frac{π}{5})$

Étape 2.2.3.3

Évaluez $\cos (\frac{π}{5})$ .

$y = - 1 \cdot 0.80901699$

Étape 2.2.3.4

Multipliez $- 1$ par $0.80901699$ .

$y = - 0.80901699$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - 0.80901699)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(\frac{3 π}{5} + 2 π n, 0)$ , pour tout entier $n$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - 0.80901699)$

Étape 4