Pré-calcul Exemples

$y = - 3 \cos (4 x + \frac{π}{3})$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = - 3 \cos (4 x + \frac{π}{3})$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Réécrivez l’équation comme $- 3 \cos (4 x + \frac{π}{3}) = 0$ .

$- 3 \cos (4 x + \frac{π}{3}) = 0$

Étape 1.2.2

Divisez chaque terme dans $- 3 \cos (4 x + \frac{π}{3}) = 0$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 1.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 3 \cos (4 x + \frac{π}{3}) = 0$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 \cos (4 x + \frac{π}{3})}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Étape 1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 1.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 \cos (4 x + \frac{π}{3})}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Étape 1.2.2.2.1.2

Divisez $\cos (4 x + \frac{π}{3})$ par $1$ .

$\cos (4 x + \frac{π}{3}) = \frac{0}{- 3}$

Étape 1.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.2.3.1

Divisez $0$ par $- 3$ .

$\cos (4 x + \frac{π}{3}) = 0$

Étape 1.2.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$4 x + \frac{π}{3} = \arccos (0)$

Étape 1.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$4 x + \frac{π}{3} = \frac{π}{2}$

Étape 1.2.5

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.2.5.1

Soustrayez $\frac{π}{3}$ des deux côtés de l’équation.

$4 x = \frac{π}{2} - \frac{π}{3}$

Étape 1.2.5.2

Pour écrire $\frac{π}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$4 x = \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 1.2.5.3

Pour écrire $- \frac{π}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$4 x = \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 1.2.5.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.2.5.4.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$4 x = \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 1.2.5.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$4 x = \frac{π \cdot 3}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 1.2.5.4.3

Multipliez $\frac{π}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$4 x = \frac{π \cdot 3}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.4.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$4 x = \frac{π \cdot 3}{6} - \frac{π \cdot 2}{6}$

Étape 1.2.5.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 x = \frac{π \cdot 3 - π \cdot 2}{6}$

Étape 1.2.5.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.6.1

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$4 x = \frac{3 \cdot π - π \cdot 2}{6}$

Étape 1.2.5.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$4 x = \frac{3 π - 2 π}{6}$

Étape 1.2.5.6.3

Soustrayez $2 π$ de $3 π$ .

$4 x = \frac{π}{6}$

Étape 1.2.6

Divisez chaque terme dans $4 x = \frac{π}{6}$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 1.2.6.1

Divisez chaque terme dans $4 x = \frac{π}{6}$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{6}}{4}$

Étape 1.2.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.6.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.2.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{6}}{4}$

Étape 1.2.6.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{4}$

Étape 1.2.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.6.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{4}$

Étape 1.2.6.3.2

Multipliez $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Étape 1.2.6.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{6}$ par $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 4}$

Étape 1.2.6.3.2.2

Multipliez $6$ par $4$ .

$x = \frac{π}{24}$

Étape 1.2.7

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$4 x + \frac{π}{3} = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 1.2.8

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.8.1

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 1.2.8.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$4 x + \frac{π}{3} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 1.2.8.1.2

Associez les fractions.

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Étape 1.2.8.1.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$4 x + \frac{π}{3} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 1.2.8.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 x + \frac{π}{3} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 1.2.8.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.8.1.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x + \frac{π}{3} = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 1.2.8.1.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$4 x + \frac{π}{3} = \frac{3 π}{2}$

Étape 1.2.8.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.2.8.2.1

Soustrayez $\frac{π}{3}$ des deux côtés de l’équation.

$4 x = \frac{3 π}{2} - \frac{π}{3}$

Étape 1.2.8.2.2

Pour écrire $\frac{3 π}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$4 x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 1.2.8.2.3

Pour écrire $- \frac{π}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$4 x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 1.2.8.2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.2.8.2.4.1

Multipliez $\frac{3 π}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$4 x = \frac{3 π \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 1.2.8.2.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$4 x = \frac{3 π \cdot 3}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 1.2.8.2.4.3

Multipliez $\frac{π}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$4 x = \frac{3 π \cdot 3}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Étape 1.2.8.2.4.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$4 x = \frac{3 π \cdot 3}{6} - \frac{π \cdot 2}{6}$

Étape 1.2.8.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 x = \frac{3 π \cdot 3 - π \cdot 2}{6}$

Étape 1.2.8.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.8.2.6.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$4 x = \frac{9 π - π \cdot 2}{6}$

Étape 1.2.8.2.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$4 x = \frac{9 π - 2 π}{6}$

Étape 1.2.8.2.6.3

Soustrayez $2 π$ de $9 π$ .

$4 x = \frac{7 π}{6}$

Étape 1.2.8.3

Divisez chaque terme dans $4 x = \frac{7 π}{6}$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 1.2.8.3.1

Divisez chaque terme dans $4 x = \frac{7 π}{6}$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{7 π}{6}}{4}$

Étape 1.2.8.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.8.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.2.8.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{7 π}{6}}{4}$

Étape 1.2.8.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{6}}{4}$

Étape 1.2.8.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.8.3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$

Étape 1.2.8.3.3.2

Multipliez $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Étape 1.2.8.3.3.2.1

Multipliez $\frac{7 π}{6}$ par $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 4}$

Étape 1.2.8.3.3.2.2

Multipliez $6$ par $4$ .

$x = \frac{7 π}{24}$

Étape 1.2.9

Déterminez la période de $\cos (4 x + \frac{π}{3})$ .

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Étape 1.2.9.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 1.2.9.2

Remplacez $b$ par $4$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Étape 1.2.9.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $4$ est $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Étape 1.2.9.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 1.2.9.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{4}$

Étape 1.2.9.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.9.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.9.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.9.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{π}{2}$

Étape 1.2.10

La période de la fonction $\cos (4 x + \frac{π}{3})$ est $\frac{π}{2}$ si bien que les valeurs se répètent tous les $\frac{π}{2}$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{24} + \frac{π n}{2}, \frac{7 π}{24} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 1.2.11

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{24} + \frac{π n}{4}$ , pour tout entier $n$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(\frac{π}{24} + \frac{π n}{4}, 0)$ , pour tout entier $n$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = - 3 \cos (4 (0) + \frac{π}{3})$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - 3 \cos (4 (0) + \frac{π}{3})$

Étape 2.2.2

Simplifiez $- 3 \cos (4 (0) + \frac{π}{3})$ .

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Étape 2.2.2.1

Multipliez $4$ par $0$ .

$y = - 3 \cos (0 + \frac{π}{3})$

Étape 2.2.2.2

Additionnez $0$ et $\frac{π}{3}$ .

$y = - 3 \cos (\frac{π}{3})$

Étape 2.2.2.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$y = - 3 (\frac{1}{2})$

Étape 2.2.2.4

Associez $- 3$ et $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{- 3}{2}$

Étape 2.2.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{3}{2}$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - \frac{3}{2})$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(\frac{π}{24} + \frac{π n}{4}, 0)$ , pour tout entier $n$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - \frac{3}{2})$

Étape 4