Pré-calcul Exemples

$\cos (2 θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1

Multiply each term by a factor of $1$ that will equate all the denominators. In this case, all terms need a denominator of $2$ .

$\cos (2 θ) \cdot \frac{2}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 2

Multipliez l’expression par un facteur de $1$ pour créer le plus petit dénominateur commun de $2$ .

$\cos (2 θ) \cdot 2$

Étape 3

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 θ)$ .

$\frac{2 \cos (2 θ)}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4

Simplifiez $\cos (2 θ) \cdot \frac{2}{2}$ .

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Étape 4.1

Divisez $2$ par $2$ .

$\cos (2 θ) \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4.2

Multipliez $\cos (2 θ)$ par $1$ .

$\cos (2 θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 5

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur du cosinus.

$2 θ = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 6

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1

La valeur exacte de $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ est $\frac{π}{6}$ .

$2 θ = \frac{π}{6}$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $2 θ = \frac{π}{6}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $2 θ = \frac{π}{6}$ par $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $θ$ par $1$ .

$θ = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$θ = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 7.3.2

Multipliez $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 7.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{6}$ par $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{π}{6 \cdot 2}$

Étape 7.3.2.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$θ = \frac{π}{12}$

Étape 8

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$2 θ = 2 π - \frac{π}{6}$

Étape 9

Résolvez $θ$ .

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Étape 9.1

Simplifiez

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Étape 9.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$2 θ = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 9.1.2

Associez $2 π$ et $\frac{6}{6}$ .

$2 θ = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 9.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 θ = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 9.1.4

Multipliez $6$ par $2$ .

$2 θ = \frac{12 π - π}{6}$

Étape 9.1.5

Soustrayez $π$ de $12 π$ .

$2 θ = \frac{11 π}{6}$

Étape 9.2

Divisez chaque terme dans $2 θ = \frac{11 π}{6}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 9.2.1

Divisez chaque terme dans $2 θ = \frac{11 π}{6}$ par $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{11 π}{6}}{2}$

Étape 9.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{11 π}{6}}{2}$

Étape 9.2.2.1.2

Divisez $θ$ par $1$ .

$θ = \frac{\frac{11 π}{6}}{2}$

Étape 9.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$θ = \frac{11 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 9.2.3.2

Multipliez $\frac{11 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 9.2.3.2.1

Multipliez $\frac{11 π}{6}$ par $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{11 π}{6 \cdot 2}$

Étape 9.2.3.2.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$θ = \frac{11 π}{12}$

Étape 10

Déterminez la période de $\cos (2 θ)$ .

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Étape 10.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 10.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 10.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 10.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 10.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 11

La période de la fonction $\cos (2 θ)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$θ = \frac{π}{12} + π n, \frac{11 π}{12} + π n$ , pour tout entier $n$