Pré-calcul Exemples

$y = \frac{3 x + 2}{4 x - 7}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{3 x + 2}{4 x - 7})$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ est $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ où $f (y) = 3 x + 2$ et $g (y) = 4 x - 7$ .

$\frac{(4 x - 7) \frac{d}{d y} [3 x + 2] - (3 x + 2) \frac{d}{d y} [4 x - 7]}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 2$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{(4 x - 7) (\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [2]) - (3 x + 2) \frac{d}{d y} [4 x - 7]}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Étape 3.2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $y$ est $3 \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{(4 x - 7) (3 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2]) - (3 x + 2) \frac{d}{d y} [4 x - 7]}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$\frac{(4 x - 7) (3 x' + \frac{d}{d y} [2]) - (3 x + 2) \frac{d}{d y} [4 x - 7]}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Étape 3.4

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{(4 x - 7) (3 x' + 0) - (3 x + 2) \frac{d}{d y} [4 x - 7]}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Étape 3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.5.1

Additionnez $3 x'$ et $0$ .

$\frac{(4 x - 7) (3 x') - (3 x + 2) \frac{d}{d y} [4 x - 7]}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Étape 3.5.2

Déplacez $3$ à gauche de $4 x - 7$ .

$\frac{3 \cdot (4 x - 7) x' - (3 x + 2) \frac{d}{d y} [4 x - 7]}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Étape 3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - 7$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 7]$ .

$\frac{3 (4 x - 7) x' - (3 x + 2) (\frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 7])}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Étape 3.7

Comme $4$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $y$ est $4 \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{3 (4 x - 7) x' - (3 x + 2) (4 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 7])}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Étape 3.8

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$\frac{3 (4 x - 7) x' - (3 x + 2) (4 x' + \frac{d}{d y} [- 7])}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Étape 3.9

Comme $- 7$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 7$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{3 (4 x - 7) x' - (3 x + 2) (4 x' + 0)}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Étape 3.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.10.1

Additionnez $4 x'$ et $0$ .

$\frac{3 (4 x - 7) x' - (3 x + 2) (4 x')}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Étape 3.10.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{3 (4 x - 7) x' - 4 (3 x + 2) x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Étape 3.11

Simplifiez

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Étape 3.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(3 (4 x) + 3 \cdot - 7) x' - 4 (3 x + 2) x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Étape 3.11.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (4 x) x' + 3 \cdot - 7 x' - 4 (3 x + 2) x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Étape 3.11.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (4 x) x' + 3 \cdot - 7 x' + (- 4 (3 x) - 4 \cdot 2) x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Étape 3.11.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (4 x) x' + 3 \cdot - 7 x' - 4 (3 x) x' - 4 \cdot 2 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Étape 3.11.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.11.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.11.5.1.1

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{12 x x' + 3 \cdot - 7 x' - 4 (3 x) x' - 4 \cdot 2 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Étape 3.11.5.1.2

Multipliez $3$ par $- 7$ .

$\frac{12 x x' - 21 x' - 4 (3 x) x' - 4 \cdot 2 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Étape 3.11.5.1.3

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$\frac{12 x x' - 21 x' - 12 x x' - 4 \cdot 2 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Étape 3.11.5.1.4

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$\frac{12 x x' - 21 x' - 12 x x' - 8 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Étape 3.11.5.2

Associez les termes opposés dans $12 x x' - 21 x' - 12 x x' - 8 x'$ .

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Étape 3.11.5.2.1

Soustrayez $12 x x'$ de $12 x x'$ .

$\frac{0 - 21 x' - 8 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Étape 3.11.5.2.2

Soustrayez $21 x'$ de $0$ .

$\frac{- 21 x' - 8 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Étape 3.11.5.3

Soustrayez $8 x'$ de $- 21 x'$ .

$\frac{- 29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Étape 3.11.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$1 = - \frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} = 1$ .

$- \frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} = 1$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $- \frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} = 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $- \frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} = 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Étape 5.2.2.2

Divisez $\frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$ par $1$ .

$\frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} = \frac{1}{- 1}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Divisez $1$ par $- 1$ .

$\frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} = - 1$

Étape 5.3

Multipliez les deux côtés par ${(4 x - 7)}^{2}$ .

$\frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} {(4 x - 7)}^{2} = - {(4 x - 7)}^{2}$

Étape 5.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.1

Annulez le facteur commun de ${(4 x - 7)}^{2}$ .

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Étape 5.4.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} {(4 x - 7)}^{2} = - {(4 x - 7)}^{2}$

Étape 5.4.1.2

Réécrivez l’expression.

$29 x' = - {(4 x - 7)}^{2}$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $29 x' = - {(4 x - 7)}^{2}$ par $29$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $29 x' = - {(4 x - 7)}^{2}$ par $29$ .

$\frac{29 x'}{29} = \frac{- {(4 x - 7)}^{2}}{29}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $29$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{29 x'}{29} = \frac{- {(4 x - 7)}^{2}}{29}$

Étape 5.5.2.1.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{- {(4 x - 7)}^{2}}{29}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x' = - \frac{{(4 x - 7)}^{2}}{29}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{{(4 x - 7)}^{2}}{29}$