Pré-calcul Exemples

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x^{2} + 9 x - 18}{x + 6}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to - 6} 2 x^{2} + 9 x - 18}{lim_{x \to - 6} x + 6}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 6$ .

$\frac{lim_{x \to - 6} 2 x^{2} + lim_{x \to - 6} 9 x - lim_{x \to - 6} 18}{lim_{x \to - 6} x + 6}$

Étape 1.1.2.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 6} x^{2} + lim_{x \to - 6} 9 x - lim_{x \to - 6} 18}{lim_{x \to - 6} x + 6}$

Étape 1.1.2.3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{2 {(lim_{x \to - 6} x)}^{2} + lim_{x \to - 6} 9 x - lim_{x \to - 6} 18}{lim_{x \to - 6} x + 6}$

Étape 1.1.2.4

Placez le terme $9$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to - 6} x)}^{2} + 9 lim_{x \to - 6} x - lim_{x \to - 6} 18}{lim_{x \to - 6} x + 6}$

Étape 1.1.2.5

Évaluez la limite de $18$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 6$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to - 6} x)}^{2} + 9 lim_{x \to - 6} x - 1 \cdot 18}{lim_{x \to - 6} x + 6}$

Étape 1.1.2.6

Évaluez les limites en insérant $- 6$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.2.6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 6$ pour $x$ .

$\frac{2 {(- 6)}^{2} + 9 lim_{x \to - 6} x - 1 \cdot 18}{lim_{x \to - 6} x + 6}$

Étape 1.1.2.6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 6$ pour $x$ .

$\frac{2 {(- 6)}^{2} + 9 \cdot - 6 - 1 \cdot 18}{lim_{x \to - 6} x + 6}$

Étape 1.1.2.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.7.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$\frac{2 \cdot 36 + 9 \cdot - 6 - 1 \cdot 18}{lim_{x \to - 6} x + 6}$

Étape 1.1.2.7.1.2

Multipliez $2$ par $36$ .

$\frac{72 + 9 \cdot - 6 - 1 \cdot 18}{lim_{x \to - 6} x + 6}$

Étape 1.1.2.7.1.3

Multipliez $9$ par $- 6$ .

$\frac{72 - 54 - 1 \cdot 18}{lim_{x \to - 6} x + 6}$

Étape 1.1.2.7.1.4

Multipliez $- 1$ par $18$ .

$\frac{72 - 54 - 18}{lim_{x \to - 6} x + 6}$

Étape 1.1.2.7.2

Soustrayez $54$ de $72$ .

$\frac{18 - 18}{lim_{x \to - 6} x + 6}$

Étape 1.1.2.7.3

Soustrayez $18$ de $18$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 6} x + 6}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 6} x + lim_{x \to - 6} 6}$

Étape 1.1.3.1.2

Évaluez la limite de $6$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 6} x + 6}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 6$ pour $x$ .

$\frac{0}{- 6 + 6}$

Étape 1.1.3.3

Additionnez $- 6$ et $6$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x^{2} + 9 x - 18}{x + 6} = lim_{x \to - 6} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 9 x - 18]}{\frac{d}{d x} [x + 6]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to - 6} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 9 x - 18]}{\frac{d}{d x} [x + 6]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} + 9 x - 18$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 18]}{\frac{d}{d x} [x + 6]}$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Étape 1.3.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 18]}{\frac{d}{d x} [x + 6]}$

Étape 1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 (2 x) + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 18]}{\frac{d}{d x} [x + 6]}$

Étape 1.3.3.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{4 x + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 18]}{\frac{d}{d x} [x + 6]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

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Étape 1.3.4.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{4 x + 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 18]}{\frac{d}{d x} [x + 6]}$

Étape 1.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{4 x + 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 18]}{\frac{d}{d x} [x + 6]}$

Étape 1.3.4.3

Multipliez $9$ par $1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{4 x + 9 + \frac{d}{d x} [- 18]}{\frac{d}{d x} [x + 6]}$

Étape 1.3.5

Comme $- 18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 18$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{4 x + 9 + 0}{\frac{d}{d x} [x + 6]}$

Étape 1.3.6

Additionnez $4 x + 9$ et $0$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{4 x + 9}{\frac{d}{d x} [x + 6]}$

Étape 1.3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{4 x + 9}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]}$

Étape 1.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{4 x + 9}{1 + \frac{d}{d x} [6]}$

Étape 1.3.9

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{4 x + 9}{1 + 0}$

Étape 1.3.10

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{4 x + 9}{1}$

Étape 1.4

Divisez $4 x + 9$ par $1$ .

$lim_{x \to - 6} 4 x + 9$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 6$ .

$lim_{x \to - 6} 4 x + lim_{x \to - 6} 9$

Étape 2.2

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$4 lim_{x \to - 6} x + lim_{x \to - 6} 9$

Étape 2.3

Évaluez la limite de $9$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 6$ .

$4 lim_{x \to - 6} x + 9$

Étape 3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 6$ pour $x$ .

$4 \cdot - 6 + 9$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Multipliez $4$ par $- 6$ .

$- 24 + 9$

Étape 4.2

Additionnez $- 24$ et $9$ .

$- 15$