Pré-calcul Exemples

$\log_{4} (x - 4) + 2 \log_{4} (x + 4) - \log_{4} (x^{3} + 2 x^{2} - 16 x - 32)$

Étape 1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \log_{4} (x + 4) + \log_{4} (\frac{x - 4}{x^{3} + 2 x^{2} - 16 x - 32})$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Simplifiez $2 \log_{4} (x + 4)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{x - 4}{x^{3} + 2 x^{2} - 16 x - 32})$

Étape 2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{x - 4}{(x^{3} + 2 x^{2}) - 16 x - 32})$

Étape 2.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{x - 4}{x^{2} (x + 2) - 16 (x + 2)})$

Étape 2.2.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x + 2$ .

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{x - 4}{(x + 2) (x^{2} - 16)})$

Étape 2.2.3

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{x - 4}{(x + 2) (x^{2} - 4^{2})})$

Étape 2.2.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{x - 4}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)})$

Étape 2.3

Annulez le facteur commun de $x - 4$ .

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Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{x - 4}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)})$

Étape 2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{1}{(x + 2) (x + 4)})$

Étape 3

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2} \frac{1}{(x + 2) (x + 4)})$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $x + 4$ .

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Étape 4.1

Factorisez $x + 4$ à partir de ${(x + 4)}^{2}$ .

$\log_{4} ((x + 4) (x + 4) \frac{1}{(x + 2) (x + 4)})$

Étape 4.2

Factorisez $x + 4$ à partir de $(x + 2) (x + 4)$ .

$\log_{4} ((x + 4) (x + 4) \frac{1}{(x + 4) (x + 2)})$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun.

$\log_{4} ((x + 4) (x + 4) \frac{1}{(x + 4) (x + 2)})$

Étape 4.4

Réécrivez l’expression.

$\log_{4} ((x + 4) \frac{1}{x + 2})$

Étape 5

Multipliez $x + 4$ par $\frac{1}{x + 2}$ .

$\log_{4} (\frac{x + 4}{x + 2})$