Pré-calcul Exemples

$\frac{e^{x} + 100 e^{- x}}{2} = 10$

Étape 1

Multipliez les deux côtés par $2$ .

$\frac{e^{x} + 100 e^{- x}}{2} \cdot 2 = 10 \cdot 2$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{x} + 100 e^{- x}}{2} \cdot 2 = 10 \cdot 2$

Étape 2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$e^{x} + 100 e^{- x} = 10 \cdot 2$

Étape 2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.1

Multipliez $10$ par $2$ .

$e^{x} + 100 e^{- x} = 20$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Réécrivez $e^{- x}$ comme une élévation à une puissance.

$e^{x} + 100 {(e^{x})}^{- 1} = 20$

Étape 3.2

Remplacez $e^{x}$ par $u$ .

$u + 100 u^{- 1} = 20$

Étape 3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + 100 (\frac{1}{u}) = 20$

Étape 3.3.2

Associez $100$ et $\frac{1}{u}$ .

$u + \frac{100}{u} = 20$

Étape 3.4

Résolvez $u$ .

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Étape 3.4.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.4.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, u, 1$

Étape 3.4.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$u$

Étape 3.4.2

Multiplier chaque terme dans $u + \frac{100}{u} = 20$ par $u$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.4.2.1

Multipliez chaque terme dans $u + \frac{100}{u} = 20$ par $u$ .

$u \cdot u + \frac{100}{u} u = 20 u$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.2.2.1.1

Multipliez $u$ par $u$ .

$u^{2} + \frac{100}{u} u = 20 u$

Étape 3.4.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $u$ .

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Étape 3.4.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$u^{2} + \frac{100}{u} u = 20 u$

Étape 3.4.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$u^{2} + 100 = 20 u$

Étape 3.4.3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.4.3.1

Soustrayez $20 u$ des deux côtés de l’équation.

$u^{2} + 100 - 20 u = 0$

Étape 3.4.3.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 3.4.3.2.1

Réorganisez les termes.

$u^{2} - 20 u + 100 = 0$

Étape 3.4.3.2.2

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$u^{2} - 20 u + 10^{2} = 0$

Étape 3.4.3.2.3

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$20 u = 2 \cdot u \cdot 10$

Étape 3.4.3.2.4

Réécrivez le polynôme.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 10 + 10^{2} = 0$

Étape 3.4.3.2.5

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 10$ .

${(u - 10)}^{2} = 0$

Étape 3.4.3.3

Définissez le $u - 10$ égal à $0$ .

$u - 10 = 0$

Étape 3.4.3.4

Ajoutez $10$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 10$

Étape 3.5

Remplacez $u$ par $10$ dans $u = e^{x}$ .

$10 = e^{x}$

Étape 3.6

Résolvez $10 = e^{x}$ .

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Étape 3.6.1

Réécrivez l’équation comme $e^{x} = 10$ .

$e^{x} = 10$

Étape 3.6.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (10)$

Étape 3.6.3

Développez le côté gauche.

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Étape 3.6.3.1

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (e) = \ln (10)$

Étape 3.6.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (10)$

Étape 3.6.3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = \ln (10)$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \ln (10)$

Forme décimale :

$x = 2.30258509 \dots$