Pré-calcul Exemples

$\frac{1}{7} \cdot (3 \ln (x + 2) - \ln (x) - \ln (x^{2} - 64))$

Étape 1

Simplifiez $3 \ln (x + 2)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$\frac{1}{7} \cdot (\ln ({(x + 2)}^{3}) - \ln (x) - \ln (x^{2} - 64))$

Étape 2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{7} \cdot (\ln (\frac{{(x + 2)}^{3}}{x}) - \ln (x^{2} - 64))$

Étape 3

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{7} \cdot \ln (\frac{\frac{{(x + 2)}^{3}}{x}}{x^{2} - 64})$

Étape 4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{7} \cdot \ln (\frac{{(x + 2)}^{3}}{x} \cdot \frac{1}{x^{2} - 64})$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$\frac{1}{7} \cdot \ln (\frac{{(x + 2)}^{3}}{x} \cdot \frac{1}{x^{2} - 8^{2}})$

Étape 5.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 8$ .

$\frac{1}{7} \cdot \ln (\frac{{(x + 2)}^{3}}{x} \cdot \frac{1}{(x + 8) (x - 8)})$

Étape 6

Associez les fractions.

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Étape 6.1

Associez.

$\frac{1}{7} \cdot \ln (\frac{{(x + 2)}^{3} \cdot 1}{x ((x + 8) (x - 8))})$

Étape 6.2

Multipliez ${(x + 2)}^{3}$ par $1$ .

$\frac{1}{7} \cdot \ln (\frac{{(x + 2)}^{3}}{x ((x + 8) (x - 8))})$

Étape 7

Simplifiez $\frac{1}{7} \ln (\frac{{(x + 2)}^{3}}{x (x + 8) (x - 8)})$ en déplaçant $\frac{1}{7}$ dans le logarithme.

$\ln ({(\frac{{(x + 2)}^{3}}{x (x + 8) (x - 8)})}^{\frac{1}{7}})$

Étape 8

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 8.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{{(x + 2)}^{3}}{x (x + 8) (x - 8)}$ .

$\ln (\frac{{({(x + 2)}^{3})}^{\frac{1}{7}}}{{(x (x + 8) (x - 8))}^{\frac{1}{7}}})$

Étape 8.2

Appliquez la règle de produit à $x (x + 8) (x - 8)$ .

$\ln (\frac{{({(x + 2)}^{3})}^{\frac{1}{7}}}{{(x (x + 8))}^{\frac{1}{7}} {(x - 8)}^{\frac{1}{7}}})$

Étape 8.3

Appliquez la règle de produit à $x (x + 8)$ .

$\ln (\frac{{({(x + 2)}^{3})}^{\frac{1}{7}}}{x^{\frac{1}{7}} {(x + 8)}^{\frac{1}{7}} {(x - 8)}^{\frac{1}{7}}})$

Étape 9

Multipliez les exposants dans ${({(x + 2)}^{3})}^{\frac{1}{7}}$ .

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Étape 9.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{{(x + 2)}^{3 (\frac{1}{7})}}{x^{\frac{1}{7}} {(x + 8)}^{\frac{1}{7}} {(x - 8)}^{\frac{1}{7}}})$

Étape 9.2

Associez $3$ et $\frac{1}{7}$ .

$\ln (\frac{{(x + 2)}^{\frac{3}{7}}}{x^{\frac{1}{7}} {(x + 8)}^{\frac{1}{7}} {(x - 8)}^{\frac{1}{7}}})$