Pré-calcul Exemples

$\log (x) + \log (x^{2} - 1) - 2 \log (x) - \log (x + 1)$

Étape 1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (x (x^{2} - 1)) - 2 \log (x) - \log (x + 1)$

Étape 2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x (x^{2} - 1)}{x + 1}) - 2 \log (x)$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\log (\frac{x (x^{2} - 1^{2})}{x + 1}) - 2 \log (x)$

Étape 3.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\log (\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x + 1}) - 2 \log (x)$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\log (\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x + 1}) - 2 \log (x)$

Étape 3.2.2

Divisez $x (x - 1)$ par $1$ .

$\log (x (x - 1)) - 2 \log (x)$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\log (x \cdot x + x \cdot - 1) - 2 \log (x)$

Étape 3.4

Multipliez $x$ par $x$ .

$\log (x^{2} + x \cdot - 1) - 2 \log (x)$

Étape 3.5

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\log (x^{2} - 1 \cdot x) - 2 \log (x)$

Étape 3.6

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\log (x^{2} - x) - 2 \log (x)$

Étape 3.7

Simplifiez $- 2 \log (x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\log (x^{2} - x) - \log (x^{2})$

Étape 4

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x^{2} - x}{x^{2}})$

Étape 5

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - x$ .

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Étape 5.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\log (\frac{x \cdot x - x}{x^{2}})$

Étape 5.2

Factorisez $x$ à partir de $- x$ .

$\log (\frac{x \cdot x + x \cdot - 1}{x^{2}})$

Étape 5.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$\log (\frac{x (x - 1)}{x^{2}})$

Étape 6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\log (\frac{x (x - 1)}{x \cdot x})$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun.

$\log (\frac{x (x - 1)}{x \cdot x})$

Étape 6.3

Réécrivez l’expression.

$\log (\frac{x - 1}{x})$