Pré-calcul Exemples

$y = \frac{4}{3} \cos (\frac{3}{2} x)$

Étape 1

Utilisez la forme $a \cos (b x - c) + d$ afin de déterminer les variables pour déterminer l’amplitude, la période, le déphasage et le décalage vertical.

$a = \frac{4}{3}$

$b = \frac{3}{2}$

$c = 0$

$d = 0$

Étape 2

Déterminez l’amplitude $| a |$ .

Amplitude : $\frac{4}{3}$

Étape 3

Déterminez la période de $\frac{4 \cos (\frac{3 x}{2})}{3}$ .

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Étape 3.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2

Remplacez $b$ par $\frac{3}{2}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{3}{2} |}$

Étape 3.3

$\frac{3}{2}$ est d’environ $1.5$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{3}{2}}$

Étape 3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \frac{2}{3}$

Étape 3.5

Multipliez $2 π \frac{2}{3}$ .

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Étape 3.5.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3} π$

Étape 3.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4}{3} π$

Étape 3.5.3

Associez $\frac{4}{3}$ et $π$ .

$\frac{4 π}{3}$

Étape 4

Déterminez le déphasage en utilisant la formule $\frac{c}{b}$ .

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Étape 4.1

Le déphasage de la fonction peut être calculé à partir de $\frac{c}{b}$ .

Déphasage : $\frac{c}{b}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs de $c$ et $b$ dans l’équation pour le déphasage.

Déphasage : $\frac{0}{\frac{3}{2}}$

Étape 4.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

Déphasage : $0 (\frac{2}{3})$

Étape 4.4

Multipliez $0$ par $\frac{2}{3}$ .

Déphasage : $0$

Étape 5

Indiquez les propriétés de la fonction trigonométrique.

Amplitude : $\frac{4}{3}$

Période : $\frac{4 π}{3}$

Déphasage : Aucune

Décalage vertical : Aucune

Étape 6

Sélectionnez quelques points à représenter graphiquement.

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Étape 6.1

Déterminez le point sur $x = 0$ .

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Étape 6.1.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \frac{4 \cos (\frac{3 (0)}{2})}{3}$

Étape 6.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.1.2.1

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 6.1.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $3 (0)$ .

$f (0) = \frac{4 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2})}{3}$

Étape 6.1.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (0) = \frac{4 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 (1)})}{3}$

Étape 6.1.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (0) = \frac{4 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 \cdot 1})}{3}$

Étape 6.1.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (0) = \frac{4 \cos (\frac{3 \cdot (0)}{1})}{3}$

Étape 6.1.2.1.2.4

Divisez $3 \cdot (0)$ par $1$ .

$f (0) = \frac{4 \cos (3 \cdot (0))}{3}$

Étape 6.1.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.2.2.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$f (0) = \frac{4 \cos (0)}{3}$

Étape 6.1.2.2.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (0) = \frac{4 \cdot 1}{3}$

Étape 6.1.2.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$f (0) = \frac{4}{3}$

Étape 6.1.2.4

La réponse finale est $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3}$

Étape 6.2

Déterminez le point sur $x = \frac{π}{3}$ .

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Étape 6.2.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{4 \cos (\frac{3 (\frac{π}{3})}{2})}{3}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.2.1

Associez $3$ et $\frac{π}{3}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{4 \cos (\frac{\frac{3 π}{3}}{2})}{3}$

Étape 6.2.2.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.2.1

Réduisez l’expression $\frac{3 π}{3}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{4 \cos (\frac{\frac{3 π}{3}}{2})}{3}$

Étape 6.2.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{4 \cos (\frac{\frac{π}{1}}{2})}{3}$

Étape 6.2.2.2.2

Divisez $π$ par $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{4 \cos (\frac{π}{2})}{3}$

Étape 6.2.2.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{4 \cdot 0}{3}$

Étape 6.2.2.4

Multipliez $4$ par $0$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{0}{3}$

Étape 6.2.2.5

Divisez $0$ par $3$ .

$f (\frac{π}{3}) = 0$

Étape 6.2.2.6

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 6.3

Déterminez le point sur $x = \frac{2 π}{3}$ .

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Étape 6.3.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{2 π}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{4 \cos (\frac{3 (\frac{2 π}{3})}{2})}{3}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.3.2.1

Associez $3$ et $\frac{2 π}{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{4 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})}{3}$

Étape 6.3.2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{4 \cos (\frac{\frac{6 π}{3}}{2})}{3}$

Étape 6.3.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.3.2.3.1

Réduisez l’expression $\frac{6 π}{3}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.3.2.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $6 π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{4 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})}{3}$

Étape 6.3.2.3.1.2

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{4 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 (1)}}{2})}{3}$

Étape 6.3.2.3.1.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{4 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1}}{2})}{3}$

Étape 6.3.2.3.1.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{4 \cos (\frac{\frac{2 π}{1}}{2})}{3}$

Étape 6.3.2.3.2

Divisez $2 π$ par $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{4 \cos (\frac{2 π}{2})}{3}$

Étape 6.3.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.2.4.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.2.4.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{4 \cos (\frac{2 π}{2})}{3}$

Étape 6.3.2.4.1.2

Divisez $π$ par $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{4 \cos (π)}{3}$

Étape 6.3.2.4.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{4 (- \cos (0))}{3}$

Étape 6.3.2.4.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{4 (- 1 \cdot 1)}{3}$

Étape 6.3.2.4.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{4 \cdot - 1}{3}$

Étape 6.3.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.3.2.5.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{- 4}{3}$

Étape 6.3.2.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{4}{3}$

Étape 6.3.2.6

La réponse finale est $- \frac{4}{3}$ .

$- \frac{4}{3}$

Étape 6.4

Déterminez le point sur $x = π$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1

Remplacez la variable $x$ par $π$ dans l’expression.

$f (π) = \frac{4 \cos (\frac{3 (π)}{2})}{3}$

Étape 6.4.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$f (π) = \frac{4 \cos (\frac{π}{2})}{3}$

Étape 6.4.2.1.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$f (π) = \frac{4 \cdot 0}{3}$

Étape 6.4.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.4.2.2.1

Multipliez $4$ par $0$ .

$f (π) = \frac{0}{3}$

Étape 6.4.2.2.2

Divisez $0$ par $3$ .

$f (π) = 0$

Étape 6.4.2.3

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 6.5

Déterminez le point sur $x = \frac{4 π}{3}$ .

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Étape 6.5.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{4 π}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 \cos (\frac{3 (\frac{4 π}{3})}{2})}{3}$

Étape 6.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.5.2.1

Associez $3$ et $\frac{4 π}{3}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 \cos (\frac{\frac{3 (4 π)}{3}}{2})}{3}$

Étape 6.5.2.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 \cos (\frac{\frac{12 π}{3}}{2})}{3}$

Étape 6.5.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.5.2.3.1

Réduisez l’expression $\frac{12 π}{3}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.5.2.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $12 π$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 \cos (\frac{\frac{3 (4 π)}{3}}{2})}{3}$

Étape 6.5.2.3.1.2

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 \cos (\frac{\frac{3 (4 π)}{3 (1)}}{2})}{3}$

Étape 6.5.2.3.1.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 \cos (\frac{\frac{3 (4 π)}{3 \cdot 1}}{2})}{3}$

Étape 6.5.2.3.1.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 \cos (\frac{\frac{4 π}{1}}{2})}{3}$

Étape 6.5.2.3.2

Divisez $4 π$ par $1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 \cos (\frac{4 π}{2})}{3}$

Étape 6.5.2.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.4.1

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 6.5.2.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 π$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 \cos (\frac{2 (2 π)}{2})}{3}$

Étape 6.5.2.4.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.5.2.4.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 \cos (\frac{2 (2 π)}{2 (1)})}{3}$

Étape 6.5.2.4.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 \cos (\frac{2 (2 π)}{2 \cdot 1})}{3}$

Étape 6.5.2.4.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 \cos (\frac{2 π}{1})}{3}$

Étape 6.5.2.4.1.2.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 \cos (2 π)}{3}$

Étape 6.5.2.4.2

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 \cos (0)}{3}$

Étape 6.5.2.4.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 \cdot 1}{3}$

Étape 6.5.2.5

Multipliez $4$ par $1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4}{3}$

Étape 6.5.2.6

La réponse finale est $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3}$

Étape 6.6

Indiquez les points dans une table.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & \frac{4}{3} \\ \frac{π}{3} & 0 \\ \frac{2 π}{3} & - \frac{4}{3} \\ π & 0 \\ \frac{4 π}{3} & \frac{4}{3} \end{array}$

Étape 7

La fonction trigonométrique peut être représentée graphiquement en utilisant l’amplitude, la période, le déphasage, le décalage vertical et les points.

Amplitude : $\frac{4}{3}$

Période : $\frac{4 π}{3}$

Déphasage : Aucune

Décalage vertical : Aucune

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & \frac{4}{3} \\ \frac{π}{3} & 0 \\ \frac{2 π}{3} & - \frac{4}{3} \\ π & 0 \\ \frac{4 π}{3} & \frac{4}{3} \end{array}$

Étape 8