Pré-calcul Exemples

$\frac{1}{2} \cdot (\log ({(x)}^{4}) - \log ({(x^{2} - 2 x - 15)}^{2}))$

Étape 1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \cdot \log (\frac{{(x)}^{4}}{{(x^{2} - 2 x - 15)}^{2}})$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Factorisez $x^{2} - 2 x - 15$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 15$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 5, 3$

Étape 2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{1}{2} \cdot \log (\frac{x^{4}}{{((x - 5) (x + 3))}^{2}})$

Étape 2.2

Appliquez la règle de produit à $(x - 5) (x + 3)$ .

$\frac{1}{2} \cdot \log (\frac{x^{4}}{{(x - 5)}^{2} {(x + 3)}^{2}})$

Étape 3

Simplifiez $\frac{1}{2} \log (\frac{x^{4}}{{(x - 5)}^{2} {(x + 3)}^{2}})$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$\log ({(\frac{x^{4}}{{(x - 5)}^{2} {(x + 3)}^{2}})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 4

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x^{4}}{{(x - 5)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$ .

$\log (\frac{{(x^{4})}^{\frac{1}{2}}}{{({(x - 5)}^{2} {(x + 3)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 4.2

Appliquez la règle de produit à ${(x - 5)}^{2} {(x + 3)}^{2}$ .

$\log (\frac{{(x^{4})}^{\frac{1}{2}}}{{({(x - 5)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {({(x + 3)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 5

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log (\frac{x^{4 (\frac{1}{2})}}{{({(x - 5)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {({(x + 3)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\log (\frac{x^{2 (2) \frac{1}{2}}}{{({(x - 5)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {({(x + 3)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\log (\frac{x^{2 \cdot 2 \frac{1}{2}}}{{({(x - 5)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {({(x + 3)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\log (\frac{x^{2}}{{({(x - 5)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {({(x + 3)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.1

Multipliez les exposants dans ${({(x - 5)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 6.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log (\frac{x^{2}}{{(x - 5)}^{2 (\frac{1}{2})} {({(x + 3)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 6.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\log (\frac{x^{2}}{{(x - 5)}^{2 (\frac{1}{2})} {({(x + 3)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 6.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\log (\frac{x^{2}}{{(x - 5)}^{1} {({(x + 3)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 6.2

Simplifiez

$\log (\frac{x^{2}}{(x - 5) {({(x + 3)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 6.3

Multipliez les exposants dans ${({(x + 3)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 6.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log (\frac{x^{2}}{(x - 5) {(x + 3)}^{2 (\frac{1}{2})}})$

Étape 6.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\log (\frac{x^{2}}{(x - 5) {(x + 3)}^{2 (\frac{1}{2})}})$

Étape 6.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\log (\frac{x^{2}}{(x - 5) {(x + 3)}^{1}})$

Étape 6.4

Simplifiez

$\log (\frac{x^{2}}{(x - 5) (x + 3)})$