Pré-calcul Exemples

$\frac{1}{3} \cdot (2 \ln (x + 3)) + \ln (x) - \ln (x^{2} - 1)$

Étape 1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{3} \cdot (2 \ln (x + 3)) + \ln (\frac{x}{x^{2} - 1})$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Simplifiez $2 \ln (x + 3)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\frac{1}{3} \cdot \ln ({(x + 3)}^{2}) + \ln (\frac{x}{x^{2} - 1})$

Étape 2.2

Simplifiez $\frac{1}{3} \ln ({(x + 3)}^{2})$ en déplaçant $\frac{1}{3}$ dans le logarithme.

$\ln ({({(x + 3)}^{2})}^{\frac{1}{3}}) + \ln (\frac{x}{x^{2} - 1})$

Étape 2.3

Multipliez les exposants dans ${({(x + 3)}^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln ({(x + 3)}^{2 (\frac{1}{3})}) + \ln (\frac{x}{x^{2} - 1})$

Étape 2.3.2

Associez $2$ et $\frac{1}{3}$ .

$\ln ({(x + 3)}^{\frac{2}{3}}) + \ln (\frac{x}{x^{2} - 1})$

Étape 2.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\ln ({(x + 3)}^{\frac{2}{3}}) + \ln (\frac{x}{x^{2} - 1^{2}})$

Étape 2.4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\ln ({(x + 3)}^{\frac{2}{3}}) + \ln (\frac{x}{(x + 1) (x - 1)})$

Étape 3

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{x}{(x + 1) (x - 1)})$

Étape 4

Associez ${(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$ et $\frac{x}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$\ln (\frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}} x}{(x + 1) (x - 1)})$

Étape 5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln (\frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}} x}{(x + 1) (x - 1)})$ .

$\ln (\frac{x {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{(x + 1) (x - 1)})$