Pré-calcul Exemples

$\frac{1}{2} \cdot \ln (9) - 2 (\ln (x + 2) + \ln (x - 2))$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Simplifiez $\frac{1}{2} \ln (9)$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$\ln (9^{\frac{1}{2}}) - 2 (\ln (x + 2) + \ln (x - 2))$

Étape 1.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\ln ({(3^{2})}^{\frac{1}{2}}) - 2 (\ln (x + 2) + \ln (x - 2))$

Étape 1.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (3^{2 (\frac{1}{2})}) - 2 (\ln (x + 2) + \ln (x - 2))$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (3^{2 (\frac{1}{2})}) - 2 (\ln (x + 2) + \ln (x - 2))$

Étape 1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (3^{1}) - 2 (\ln (x + 2) + \ln (x - 2))$

Étape 1.5

Évaluez l’exposant.

$\ln (3) - 2 (\ln (x + 2) + \ln (x - 2))$

Étape 1.6

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (3) - 2 \ln ((x + 2) (x - 2))$

Étape 1.7

Développez $(x + 2) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (3) - 2 \ln (x (x - 2) + 2 (x - 2))$

Étape 1.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (3) - 2 \ln (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2))$

Étape 1.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (3) - 2 \ln (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2)$

Étape 1.8

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

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Étape 1.8.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x \cdot - 2$ et $2 x$ .

$\ln (3) - 2 \ln (x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2)$

Étape 1.8.2

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$\ln (3) - 2 \ln (x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2)$

Étape 1.8.3

Additionnez $x \cdot x$ et $0$ .

$\ln (3) - 2 \ln (x \cdot x + 2 \cdot - 2)$

Étape 1.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.9.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\ln (3) - 2 \ln (x^{2} + 2 \cdot - 2)$

Étape 1.9.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\ln (3) - 2 \ln (x^{2} - 4)$

Étape 1.10

Simplifiez $- 2 \ln (x^{2} - 4)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\ln (3) - \ln ({(x^{2} - 4)}^{2})$

Étape 2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{3}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

Étape 3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\ln (\frac{3}{{(x^{2} - 2^{2})}^{2}})$

Étape 3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$\ln (\frac{3}{{((x + 2) (x - 2))}^{2}})$

Étape 3.3

Appliquez la règle de produit à $(x + 2) (x - 2)$ .

$\ln (\frac{3}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}})$