Pré-calcul Exemples

$\log (2 x - 2) + \log (x - 6) = 2$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((2 x - 2) (x - 6)) = 2$

Étape 1.2

Développez $(2 x - 2) (x - 6)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\log (2 x (x - 6) - 2 (x - 6)) = 2$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\log (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 6 - 2 (x - 6)) = 2$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\log (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 6 - 2 x - 2 \cdot - 6) = 2$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\log (2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 6 - 2 x - 2 \cdot - 6) = 2$

Étape 1.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\log (2 x^{2} + 2 x \cdot - 6 - 2 x - 2 \cdot - 6) = 2$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $- 6$ par $2$ .

$\log (2 x^{2} - 12 x - 2 x - 2 \cdot - 6) = 2$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 6$ .

$\log (2 x^{2} - 12 x - 2 x + 12) = 2$

Étape 1.3.2

Soustrayez $2 x$ de $- 12 x$ .

$\log (2 x^{2} - 14 x + 12) = 2$

Étape 2

Réécrivez $\log (2 x^{2} - 14 x + 12) = 2$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$10^{2} = 2 x^{2} - 14 x + 12$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $2 x^{2} - 14 x + 12 = 10^{2}$ .

$2 x^{2} - 14 x + 12 = 10^{2}$

Étape 3.2

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$2 x^{2} - 14 x + 12 = 100$

Étape 3.3

Soustrayez $100$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} - 14 x + 12 - 100 = 0$

Étape 3.4

Soustrayez $100$ de $12$ .

$2 x^{2} - 14 x - 88 = 0$

Étape 3.5

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} - 14 x - 88$ .

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Étape 3.5.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) - 14 x - 88 = 0$

Étape 3.5.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 14 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (- 7 x) - 88 = 0$

Étape 3.5.1.3

Factorisez $2$ à partir de $- 88$ .

$2 x^{2} + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 44 = 0$

Étape 3.5.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} + 2 (- 7 x)$ .

$2 (x^{2} - 7 x) + 2 \cdot - 44 = 0$

Étape 3.5.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2} - 7 x) + 2 \cdot - 44$ .

$2 (x^{2} - 7 x - 44) = 0$

Étape 3.5.2

Factorisez.

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Étape 3.5.2.1

Factorisez $x^{2} - 7 x - 44$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.5.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 44$ et dont la somme est $- 7$ .

$- 11, 4$

Étape 3.5.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$2 ((x - 11) (x + 4)) = 0$

Étape 3.5.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (x - 11) (x + 4) = 0$

Étape 3.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 11 = 0$

$x + 4 = 0$

Étape 3.7

Définissez $x - 11$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.7.1

Définissez $x - 11$ égal à $0$ .

$x - 11 = 0$

Étape 3.7.2

Ajoutez $11$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 11$

Étape 3.8

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.8.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 3.8.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 3.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 (x - 11) (x + 4) = 0$ vraie.

$x = 11, - 4$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log (2 x - 2) + \log (x - 6) = 2$ vrai.

$x = 11$