Pré-calcul Exemples

$\log_{3} (\frac{\sqrt{27 x^{5}}}{\sqrt[4]{9 y^{3}}})$

Étape 1

Réécrivez $\log_{3} (\frac{\sqrt{27 x^{5}}}{\sqrt[4]{9 y^{3}}})$ comme $\log_{3} (\sqrt{27 x^{5}}) - \log_{3} (\sqrt[4]{9 y^{3}})$ .

$\log_{3} (\sqrt{27 x^{5}}) - \log_{3} (\sqrt[4]{9 y^{3}})$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{27 x^{5}}$ comme ${(27 x^{5})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\log_{3} ({(27 x^{5})}^{\frac{1}{2}}) - \log_{3} (\sqrt[4]{9 y^{3}})$

Étape 3

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{9 y^{3}}$ comme ${(9 y^{3})}^{\frac{1}{4}}$ .

$\log_{3} ({(27 x^{5})}^{\frac{1}{2}}) - \log_{3} ({(9 y^{3})}^{\frac{1}{4}})$

Étape 4

Développez $\log_{3} ({(27 x^{5})}^{\frac{1}{2}})$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ hors du logarithme.

$\frac{1}{2} \log_{3} (27 x^{5}) - \log_{3} ({(9 y^{3})}^{\frac{1}{4}})$

Étape 5

Développez $\log_{3} ({(9 y^{3})}^{\frac{1}{4}})$ en déplaçant $\frac{1}{4}$ hors du logarithme.

$\frac{1}{2} \log_{3} (27 x^{5}) - (\frac{1}{4} \log_{3} (9 y^{3}))$

Étape 6

Associez $\frac{1}{4}$ et $\log_{3} (9 y^{3})$ .

$\frac{1}{2} \log_{3} (27 x^{5}) - \frac{\log_{3} (9 y^{3})}{4}$

Étape 7

Réécrivez $\log_{3} (27 x^{5})$ comme $\log_{3} (27) + \log_{3} (x^{5})$ .

$\frac{1}{2} (\log_{3} (27) + \log_{3} (x^{5})) - \frac{\log_{3} (9 y^{3})}{4}$

Étape 8

Développez $\log_{3} (x^{5})$ en déplaçant $5$ hors du logarithme.

$\frac{1}{2} (\log_{3} (27) + 5 \log_{3} (x)) - \frac{\log_{3} (9 y^{3})}{4}$

Étape 9

La base logarithmique $3$ de $27$ est $3$ .

$\frac{1}{2} (3 + 5 \log_{3} (x)) - \frac{\log_{3} (9 y^{3})}{4}$

Étape 10

Réécrivez $\log_{3} (9 y^{3})$ comme $\log_{3} (9) + \log_{3} (y^{3})$ .

$\frac{1}{2} (3 + 5 \log_{3} (x)) - \frac{\log_{3} (9) + \log_{3} (y^{3})}{4}$

Étape 11

Développez $\log_{3} (y^{3})$ en déplaçant $3$ hors du logarithme.

$\frac{1}{2} (3 + 5 \log_{3} (x)) - \frac{\log_{3} (9) + 3 \log_{3} (y)}{4}$

Étape 12

La base logarithmique $3$ de $9$ est $2$ .

$\frac{1}{2} (3 + 5 \log_{3} (x)) - \frac{2 + 3 \log_{3} (y)}{4}$

Étape 13

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \cdot 3 + \frac{1}{2} (5 \log_{3} (x)) - \frac{2 + 3 \log_{3} (y)}{4}$

Étape 13.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $3$ .

$\frac{3}{2} + \frac{1}{2} (5 \log_{3} (x)) - \frac{2 + 3 \log_{3} (y)}{4}$

Étape 13.3

Multipliez $\frac{1}{2} (5 \log_{3} (x))$ .

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Étape 13.3.1

Associez $5$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} + \frac{5}{2} \log_{3} (x) - \frac{2 + 3 \log_{3} (y)}{4}$

Étape 13.3.2

Associez $\frac{5}{2}$ et $\log_{3} (x)$ .

$\frac{3}{2} + \frac{5 \log_{3} (x)}{2} - \frac{2 + 3 \log_{3} (y)}{4}$

Étape 14

Pour écrire $\frac{3}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{2 + 3 \log_{3} (y)}{4} + \frac{5 \log_{3} (x)}{2}$

Étape 15

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 15.1

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{2 + 3 \log_{3} (y)}{4} + \frac{5 \log_{3} (x)}{2}$

Étape 15.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{3 \cdot 2}{4} - \frac{2 + 3 \log_{3} (y)}{4} + \frac{5 \log_{3} (x)}{2}$

Étape 16

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 \cdot 2 - (2 + 3 \log_{3} (y))}{4} + \frac{5 \log_{3} (x)}{2}$

Étape 17

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 - (2 + 3 \log_{3} (y))}{4} + \frac{5 \log_{3} (x)}{2}$

Étape 18

Simplifiez le numérateur.

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Étape 18.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 - 1 \cdot 2 - (3 \log_{3} (y))}{4} + \frac{5 \log_{3} (x)}{2}$

Étape 18.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{6 - 2 - (3 \log_{3} (y))}{4} + \frac{5 \log_{3} (x)}{2}$

Étape 18.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{6 - 2 - 3 \log_{3} (y)}{4} + \frac{5 \log_{3} (x)}{2}$

Étape 18.4

Soustrayez $2$ de $6$ .

$\frac{4 - 3 \log_{3} (y)}{4} + \frac{5 \log_{3} (x)}{2}$

Étape 19

Pour écrire $\frac{5 \log_{3} (x)}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 - 3 \log_{3} (y)}{4} + \frac{5 \log_{3} (x)}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 20

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 20.1

Multipliez $\frac{5 \log_{3} (x)}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 - 3 \log_{3} (y)}{4} + \frac{5 \log_{3} (x) \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Étape 20.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 - 3 \log_{3} (y)}{4} + \frac{5 \log_{3} (x) \cdot 2}{4}$

Étape 21

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 - 3 \log_{3} (y) + 5 \log_{3} (x) \cdot 2}{4}$

Étape 22

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{4 - 3 \log_{3} (y) + 10 \log_{3} (x)}{4}$