Pré-calcul Exemples

$\ln (\frac{x}{x - 10}) + \ln (\frac{x + 10}{x}) - \ln (x^{2} - 100)$

Étape 1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (\frac{x}{x - 10} \cdot \frac{x + 10}{x}) - \ln (x^{2} - 100)$

Étape 2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{x}{x - 10} \cdot \frac{x + 10}{x}}{x^{2} - 100})$

Étape 3

Multipliez $\frac{x}{x - 10}$ par $\frac{x + 10}{x}$ .

$\ln (\frac{\frac{x (x + 10)}{(x - 10) x}}{x^{2} - 100})$

Étape 4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$\ln (\frac{\frac{x (x + 10)}{(x - 10) x}}{x^{2} - 10^{2}})$

Étape 4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 10$ .

$\ln (\frac{\frac{x (x + 10)}{(x - 10) x}}{(x + 10) (x - 10)})$

Étape 5

Réduisez l’expression $\frac{x (x + 10)}{(x - 10) x}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (\frac{\frac{x (x + 10)}{(x - 10) x}}{(x + 10) (x - 10)})$

Étape 5.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (\frac{\frac{x + 10}{x - 10}}{(x + 10) (x - 10)})$

Étape 6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\ln (\frac{x + 10}{x - 10} \cdot \frac{1}{(x + 10) (x - 10)})$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $x + 10$ .

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (\frac{x + 10}{x - 10} \cdot \frac{1}{(x + 10) (x - 10)})$

Étape 7.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (\frac{1}{x - 10} \cdot \frac{1}{x - 10})$

Étape 8

Multipliez $\frac{1}{x - 10}$ par $\frac{1}{x - 10}$ .

$\ln (\frac{1}{(x - 10) (x - 10)})$

Étape 9

Élevez $x - 10$ à la puissance $1$ .

$\ln (\frac{1}{{(x - 10)}^{1} (x - 10)})$

Étape 10

Élevez $x - 10$ à la puissance $1$ .

$\ln (\frac{1}{{(x - 10)}^{1} {(x - 10)}^{1}})$

Étape 11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\ln (\frac{1}{{(x - 10)}^{1 + 1}})$

Étape 12

Additionnez $1$ et $1$ .

$\ln (\frac{1}{{(x - 10)}^{2}})$