Pré-calcul Exemples

$\ln (x - \frac{1}{x}) + \ln (\frac{x}{x + 1})$

Étape 1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x - \frac{1}{x}) \frac{x}{x + 1})$

Étape 2

Multipliez $x - \frac{1}{x}$ par $\frac{x}{x + 1}$ .

$\ln (\frac{(x - \frac{1}{x}) x}{x + 1})$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Pour écrire $x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\ln (\frac{(\frac{x \cdot x}{x} - \frac{1}{x}) x}{x + 1})$

Étape 3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\ln (\frac{\frac{x \cdot x - 1}{x} x}{x + 1})$

Étape 3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\ln (\frac{\frac{x^{1} x - 1}{x} x}{x + 1})$

Étape 3.3.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\ln (\frac{\frac{x^{1} x^{1} - 1}{x} x}{x + 1})$

Étape 3.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\ln (\frac{\frac{x^{1 + 1} - 1}{x} x}{x + 1})$

Étape 3.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\ln (\frac{\frac{x^{2} - 1}{x} x}{x + 1})$

Étape 3.3.5

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\ln (\frac{\frac{x^{2} - 1^{2}}{x} x}{x + 1})$

Étape 3.3.6

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\ln (\frac{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x} x}{x + 1})$

Étape 4

Associez $\frac{(x + 1) (x - 1)}{x}$ et $x$ .

$\ln (\frac{\frac{(x + 1) (x - 1) x}{x}}{x + 1})$

Étape 5

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.1

Réduisez l’expression $\frac{(x + 1) (x - 1) x}{x}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.1.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (\frac{\frac{(x + 1) (x - 1) x}{x}}{x + 1})$

Étape 5.1.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (\frac{\frac{(x + 1) (x - 1)}{1}}{x + 1})$

Étape 5.2

Divisez $(x + 1) (x - 1)$ par $1$ .

$\ln (\frac{(x + 1) (x - 1)}{x + 1})$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (\frac{(x + 1) (x - 1)}{x + 1})$

Étape 6.2

Divisez $x - 1$ par $1$ .

$\ln (x - 1)$