Pré-calcul Exemples

$lim_{x \to - 5} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 2 x - 15}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to - 5} 2 x + 10}{lim_{x \to - 5} x^{2} + 2 x - 15}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 5$ .

$\frac{lim_{x \to - 5} 2 x + lim_{x \to - 5} 10}{lim_{x \to - 5} x^{2} + 2 x - 15}$

Étape 1.1.2.1.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 5} x + lim_{x \to - 5} 10}{lim_{x \to - 5} x^{2} + 2 x - 15}$

Étape 1.1.2.1.3

Évaluez la limite de $10$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 5$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 5} x + 10}{lim_{x \to - 5} x^{2} + 2 x - 15}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 5$ pour $x$ .

$\frac{2 \cdot - 5 + 10}{lim_{x \to - 5} x^{2} + 2 x - 15}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$\frac{- 10 + 10}{lim_{x \to - 5} x^{2} + 2 x - 15}$

Étape 1.1.2.3.2

Additionnez $- 10$ et $10$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 5} x^{2} + 2 x - 15}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 5} x^{2} + lim_{x \to - 5} 2 x - lim_{x \to - 5} 15}$

Étape 1.1.3.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 5} x)}^{2} + lim_{x \to - 5} 2 x - lim_{x \to - 5} 15}$

Étape 1.1.3.3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 5} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 5} x - lim_{x \to - 5} 15}$

Étape 1.1.3.4

Évaluez la limite de $15$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 5$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 5} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 5} x - 1 \cdot 15}$

Étape 1.1.3.5

Évaluez les limites en insérant $- 5$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.3.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 5$ pour $x$ .

$\frac{0}{{(- 5)}^{2} + 2 lim_{x \to - 5} x - 1 \cdot 15}$

Étape 1.1.3.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 5$ pour $x$ .

$\frac{0}{{(- 5)}^{2} + 2 \cdot - 5 - 1 \cdot 15}$

Étape 1.1.3.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.6.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$\frac{0}{25 + 2 \cdot - 5 - 1 \cdot 15}$

Étape 1.1.3.6.1.2

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$\frac{0}{25 - 10 - 1 \cdot 15}$

Étape 1.1.3.6.1.3

Multipliez $- 1$ par $15$ .

$\frac{0}{25 - 10 - 15}$

Étape 1.1.3.6.2

Soustrayez $10$ de $25$ .

$\frac{0}{15 - 15}$

Étape 1.1.3.6.3

Soustrayez $15$ de $15$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.6.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.7

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to - 5} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 2 x - 15} = lim_{x \to - 5} \frac{\frac{d}{d x} [2 x + 10]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 15]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to - 5} \frac{\frac{d}{d x} [2 x + 10]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 15]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 10$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$lim_{x \to - 5} \frac{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [10]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 15]}$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 1.3.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 5} \frac{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 15]}$

Étape 1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 5} \frac{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 15]}$

Étape 1.3.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to - 5} \frac{2 + \frac{d}{d x} [10]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 15]}$

Étape 1.3.4

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 5} \frac{2 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 15]}$

Étape 1.3.5

Additionnez $2$ et $0$ .

$lim_{x \to - 5} \frac{2}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 15]}$

Étape 1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 2 x - 15$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$ .

$lim_{x \to - 5} \frac{2}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 15]}$

Étape 1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to - 5} \frac{2}{2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 15]}$

Étape 1.3.8

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 1.3.8.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 5} \frac{2}{2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 15]}$

Étape 1.3.8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 5} \frac{2}{2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 15]}$

Étape 1.3.8.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to - 5} \frac{2}{2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 15]}$

Étape 1.3.9

Comme $- 15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 15$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 5} \frac{2}{2 x + 2 + 0}$

Étape 1.3.10

Additionnez $2 x + 2$ et $0$ .

$lim_{x \to - 5} \frac{2}{2 x + 2}$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $2 x + 2$ .

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Étape 1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$lim_{x \to - 5} \frac{2 \cdot 1}{2 x + 2}$

Étape 1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$lim_{x \to - 5} \frac{2 \cdot 1}{2 (x) + 2}$

Étape 1.4.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$lim_{x \to - 5} \frac{2 \cdot 1}{2 (x) + 2 (1)}$

Étape 1.4.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x) + 2 (1)$ .

$lim_{x \to - 5} \frac{2 \cdot 1}{2 (x + 1)}$

Étape 1.4.2.4

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - 5} \frac{2 \cdot 1}{2 (x + 1)}$

Étape 1.4.2.5

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to - 5} \frac{1}{x + 1}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 5$ .

$\frac{lim_{x \to - 5} 1}{lim_{x \to - 5} x + 1}$

Étape 2.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 5$ .

$\frac{1}{lim_{x \to - 5} x + 1}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 5$ .

$\frac{1}{lim_{x \to - 5} x + lim_{x \to - 5} 1}$

Étape 2.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 5$ .

$\frac{1}{lim_{x \to - 5} x + 1}$

Étape 3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 5$ pour $x$ .

$\frac{1}{- 5 + 1}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Additionnez $- 5$ et $1$ .

$\frac{1}{- 4}$

Étape 4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{4}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{1}{4}$

Forme décimale :

$- 0.25$