Pré-calcul Exemples

$\log (x^{2} - 1) - \log (12) = 1$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x^{2} - 1}{12}) = 1$

Étape 1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\log (\frac{x^{2} - 1^{2}}{12}) = 1$

Étape 1.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\log (\frac{(x + 1) (x - 1)}{12}) = 1$

Étape 2

Réécrivez $\log (\frac{(x + 1) (x - 1)}{12}) = 1$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$10^{1} = \frac{(x + 1) (x - 1)}{12}$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{(x + 1) (x - 1)}{12} = 10^{1}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{12} = 10$

Étape 3.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $12$ .

$12 \frac{(x + 1) (x - 1)}{12} = 12 \cdot 10^{1}$

Étape 3.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1.1

Simplifiez $12 \frac{(x + 1) (x - 1)}{12}$ .

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Étape 3.3.1.1.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 3.3.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$12 \frac{(x + 1) (x - 1)}{12} = 12 \cdot 10^{1}$

Étape 3.3.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$(x + 1) (x - 1) = 12 \cdot 10^{1}$

Étape 3.3.1.1.2

Développez $(x + 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (x - 1) + 1 (x - 1) = 12 \cdot 10^{1}$

Étape 3.3.1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) = 12 \cdot 10^{1}$

Étape 3.3.1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = 12 \cdot 10^{1}$

Étape 3.3.1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = 12 \cdot 10^{1}$

Étape 3.3.1.1.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 = 12 \cdot 10^{1}$

Étape 3.3.1.1.3.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 = 12 \cdot 10^{1}$

Étape 3.3.1.1.3.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 = 12 \cdot 10^{1}$

Étape 3.3.1.1.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x^{2} - x + x - 1 = 12 \cdot 10^{1}$

Étape 3.3.1.1.3.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$x^{2} + 0 - 1 = 12 \cdot 10^{1}$

Étape 3.3.1.1.3.3

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$x^{2} - 1 = 12 \cdot 10^{1}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.1

Move the decimal point in $12$ to the left by $1$ place and increase the power of $10^{1}$ by $1$ .

$x^{2} - 1 = 1.2 \cdot 10^{2}$

Étape 3.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.4.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 1.2 \cdot 10^{2} + 1$

Étape 3.4.2

Convert $1$ to scientific notation.

$x^{2} = 1.2 \cdot 10^{2} + 1 \cdot 10^{0}$

Étape 3.4.3

Move the decimal point in $1$ to the left by $2$ places and increase the power of $10^{0}$ by $2$ .

$x^{2} = 1.2 \cdot 10^{2} + 0.01 \cdot 10^{2}$

Étape 3.4.4

Factorisez $10^{2}$ à partir de $1.2 \cdot 10^{2} + 0.01 \cdot 10^{2}$ .

$x^{2} = (1.2 + 0.01) \cdot 10^{2}$

Étape 3.4.5

Additionnez $1.2$ et $0.01$ .

$x^{2} = 1.21 \cdot 10^{2}$

Étape 3.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1.21 \cdot 10^{2}}$

Étape 3.6

Simplifiez $\pm \sqrt{1.21 \cdot 10^{2}}$ .

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Étape 3.6.1

Réécrivez $\sqrt{1.21 \cdot 10^{2}}$ comme $\sqrt{1.21} \cdot \sqrt{10^{2}}$ .

$x = \pm \sqrt{1.21} \cdot \sqrt{10^{2}}$

Étape 3.6.2

Évaluez la racine.

$x = \pm 1.1 \cdot \sqrt{10^{2}}$

Étape 3.6.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 1.1 \cdot 10$

Étape 3.6.4

Élevez $10$ à la puissance $1$ .

$x = \pm 1.1 \cdot 10^{1}$

Étape 3.7

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.7.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 1.1 \cdot 10^{1}$

Étape 3.7.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 1.1 \cdot 10^{1}$

Étape 3.7.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1.1 \cdot 10^{1}, - 1.1 \cdot 10^{1}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Notation scientifique :

$x = 1.1 \cdot 10^{1}, - 1.1 \cdot 10^{1}$

Forme développée :

$x = 11, - 11$