Pré-calcul Exemples

$5 e^{x} = \ln (4)$

Étape 1

Divisez chaque terme dans $5 e^{x} = \ln (4)$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $5 e^{x} = \ln (4)$ par $5$ .

$\frac{5 e^{x}}{5} = \frac{\ln (4)}{5}$

Étape 1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 e^{x}}{5} = \frac{\ln (4)}{5}$

Étape 1.2.1.2

Divisez $e^{x}$ par $1$ .

$e^{x} = \frac{\ln (4)}{5}$

Étape 1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.1

Réécrivez $\frac{\ln (4)}{5}$ comme $\frac{1}{5} \ln (4)$ .

$e^{x} = \frac{1}{5} \ln (4)$

Étape 1.3.2

Simplifiez $\frac{1}{5} \ln (4)$ en déplaçant $\frac{1}{5}$ dans le logarithme.

$e^{x} = \ln (4^{\frac{1}{5}})$

Étape 2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (\ln (4^{\frac{1}{5}}))$

Étape 3

Développez le côté gauche.

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Étape 3.1

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (e) = \ln (\ln (4^{\frac{1}{5}}))$

Étape 3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\ln (4^{\frac{1}{5}}))$

Étape 3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = \ln (\ln (4^{\frac{1}{5}}))$

Étape 4

Développez le côté droit.

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Étape 4.1

Développez $\ln (4^{\frac{1}{5}})$ en déplaçant $\frac{1}{5}$ hors du logarithme.

$x = \ln (\frac{1}{5} \ln (4))$

Étape 4.2

Réécrivez $\ln (4)$ comme $\ln (2^{2})$ .

$x = \ln (\frac{1}{5} \ln (2^{2}))$

Étape 4.3

Développez $\ln (2^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$x = \ln (\frac{1}{5} (2 \ln (2)))$

Étape 4.4

Multipliez $\frac{1}{5} (2 \ln (2))$ .

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Étape 4.4.1

Associez $2$ et $\frac{1}{5}$ .

$x = \ln (\frac{2}{5} \ln (2))$

Étape 4.4.2

Associez $\frac{2}{5}$ et $\ln (2)$ .

$x = \ln (\frac{2 \ln (2)}{5})$

Étape 4.5

Réécrivez $\ln (\frac{2 \ln (2)}{5})$ comme $\ln (2 \ln (2)) - \ln (5)$ .

$x = \ln (2 \ln (2)) - \ln (5)$

Étape 4.6

Réécrivez $\ln (2 \ln (2))$ comme $\ln (2) + \ln (\ln (2))$ .

$x = \ln (2) + \ln (\ln (2)) - \ln (5)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$x = \ln (2 \ln (2)) - \ln (5)$

Étape 5.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x = \ln (\frac{2 \ln (2)}{5})$

Étape 5.3

Simplifiez $2 \ln (2)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$x = \ln (\frac{\ln (2^{2})}{5})$

Étape 5.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \ln (\frac{\ln (4)}{5})$

Étape 5.5

Réécrivez $\frac{\ln (4)}{5}$ comme $\frac{1}{5} \ln (4)$ .

$x = \ln (\frac{1}{5} \ln (4))$

Étape 5.6

Simplifiez $\frac{1}{5} \ln (4)$ en déplaçant $\frac{1}{5}$ dans le logarithme.

$x = \ln (\ln (4^{\frac{1}{5}}))$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \ln (\ln (4^{\frac{1}{5}}))$

Forme décimale :

$x = - 1.28280365 \dots$