Pré-calcul Exemples

$4 \log_{3} (2 x) + 8 \log_{3} (x) - 5 = 0$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$4 \log_{3} (2 x) + 8 \log_{3} (x) = 5 + 0$

Étape 2

Additionnez $5$ et $0$ .

$4 \log_{3} (2 x) + 8 \log_{3} (x) = 5$

Étape 3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1

Simplifiez $4 \log_{3} (2 x) + 8 \log_{3} (x)$ .

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Étape 3.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1.1

Simplifiez $4 \log_{3} (2 x)$ en déplaçant $4$ dans le logarithme.

$\log_{3} ({(2 x)}^{4}) + 8 \log_{3} (x) = 5$

Étape 3.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $2 x$ .

$\log_{3} (2^{4} x^{4}) + 8 \log_{3} (x) = 5$

Étape 3.1.1.3

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$\log_{3} (16 x^{4}) + 8 \log_{3} (x) = 5$

Étape 3.1.1.4

Simplifiez $8 \log_{3} (x)$ en déplaçant $8$ dans le logarithme.

$\log_{3} (16 x^{4}) + \log_{3} (x^{8}) = 5$

Étape 3.1.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} (16 x^{4} x^{8}) = 5$

Étape 3.1.3

Multipliez $x^{4}$ par $x^{8}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.3.1

Déplacez $x^{8}$ .

$\log_{3} (16 (x^{8} x^{4})) = 5$

Étape 3.1.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\log_{3} (16 x^{8 + 4}) = 5$

Étape 3.1.3.3

Additionnez $8$ et $4$ .

$\log_{3} (16 x^{12}) = 5$

Étape 4

Réécrivez $\log_{3} (16 x^{12}) = 5$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$3^{5} = 16 x^{12}$

Étape 5

Résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $16 x^{12} = 3^{5}$ .

$16 x^{12} = 3^{5}$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $16 x^{12} = 3^{5}$ par $16$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $16 x^{12} = 3^{5}$ par $16$ .

$\frac{16 x^{12}}{16} = \frac{3^{5}}{16}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $16$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{16 x^{12}}{16} = \frac{3^{5}}{16}$

Étape 5.2.2.1.2

Divisez $x^{12}$ par $1$ .

$x^{12} = \frac{3^{5}}{16}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Élevez $3$ à la puissance $5$ .

$x^{12} = \frac{243}{16}$

Étape 5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[12]{\frac{243}{16}}$

Étape 5.4

Simplifiez $\pm \sqrt[12]{\frac{243}{16}}$ .

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Étape 5.4.1

Réécrivez $\sqrt[12]{\frac{243}{16}}$ comme $\frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[12]{16}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[12]{16}}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.4.2.1

Réécrivez $16$ comme $2^{4}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[12]{2^{4}}}$

Étape 5.4.2.2

Réécrivez $\sqrt[12]{2^{4}}$ comme $\sqrt[3]{\sqrt[4]{2^{4}}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[3]{\sqrt[4]{2^{4}}}}$

Étape 5.4.2.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[3]{2}}$

Étape 5.4.3

Multipliez $\frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[3]{2}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Étape 5.4.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.4.4.1

Multipliez $\frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[3]{2}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Étape 5.4.4.2

Élevez $\sqrt[3]{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Étape 5.4.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Étape 5.4.4.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Étape 5.4.4.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ comme $2$ .

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Étape 5.4.4.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{2}$ comme $2^{\frac{1}{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 5.4.4.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 5.4.4.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Étape 5.4.4.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.4.4.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Étape 5.4.4.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Étape 5.4.4.5.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Étape 5.4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.5.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Étape 5.4.5.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} \sqrt[3]{4}}{2}$

Étape 5.4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.6.1

Réécrivez l’expression en utilisant le plus petit indice commun de $12$ .

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Étape 5.4.6.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{4}$ comme $4^{\frac{1}{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{2}$

Étape 5.4.6.1.2

Réécrivez $4^{\frac{1}{3}}$ comme $4^{\frac{4}{12}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} \cdot 4^{\frac{4}{12}}}{2}$

Étape 5.4.6.1.3

Réécrivez $4^{\frac{4}{12}}$ comme $\sqrt[12]{4^{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} \sqrt[12]{4^{4}}}{2}$

Étape 5.4.6.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243 \cdot 4^{4}}}{2}$

Étape 5.4.6.3

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243 \cdot 256}}{2}$

Étape 5.4.7

Multipliez $243$ par $256$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{62208}}{2}$

Étape 5.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt[12]{62208}}{2}$

Étape 5.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt[12]{62208}}{2}$

Étape 5.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt[12]{62208}}{2}, - \frac{\sqrt[12]{62208}}{2}$

Étape 6

Excluez les solutions qui ne rendent pas $4 \log_{3} (2 x) + 8 \log_{3} (x) - 5 = 0$ vrai.

$x = \frac{\sqrt[12]{62208}}{2}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{\sqrt[12]{62208}}{2}$

Forme décimale :

$x = 1.25446107 \dots$