Pré-calcul Exemples

$3 \log_{2} (\sqrt{x}) - \log_{2} (x + 1) + \frac{\log_{2} (25)}{2} = 3$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Réécrivez $\log_{2} (25)$ comme $\log_{2} (5^{2})$ .

$3 \log_{2} (\sqrt{x}) - \log_{2} (x + 1) + \frac{\log_{2} (5^{2})}{2} = 3$

Étape 1.2

Développez $\log_{2} (5^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$3 \log_{2} (\sqrt{x}) - \log_{2} (x + 1) + \frac{2 \log_{2} (5)}{2} = 3$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun.

$3 \log_{2} (\sqrt{x}) - \log_{2} (x + 1) + \frac{2 \log_{2} (5)}{2} = 3$

Étape 1.3.2

Divisez $\log_{2} (5)$ par $1$ .

$3 \log_{2} (\sqrt{x}) - \log_{2} (x + 1) + \log_{2} (5) = 3$

Étape 2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1

Simplifiez $3 \log_{2} (\sqrt{x}) - \log_{2} (x + 1) + \log_{2} (5)$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.1

Simplifiez $3 \log_{2} (\sqrt{x})$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$\log_{2} ({\sqrt{x}}^{3}) - \log_{2} (x + 1) + \log_{2} (5) = 3$

Étape 2.1.1.2

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{3}$ comme $\sqrt{x^{3}}$ .

$\log_{2} (\sqrt{x^{3}}) - \log_{2} (x + 1) + \log_{2} (5) = 3$

Étape 2.1.1.3

Factorisez $x^{2}$ .

$\log_{2} (\sqrt{x^{2} x}) - \log_{2} (x + 1) + \log_{2} (5) = 3$

Étape 2.1.1.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$\log_{2} (x \sqrt{x}) - \log_{2} (x + 1) + \log_{2} (5) = 3$

Étape 2.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{x \sqrt{x}}{x + 1}) + \log_{2} (5) = 3$

Étape 2.1.3

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} (\frac{x \sqrt{x}}{x + 1} \cdot 5) = 3$

Étape 2.1.4

Associez $\frac{x \sqrt{x}}{x + 1}$ et $5$ .

$\log_{2} (\frac{x \sqrt{x} \cdot 5}{x + 1}) = 3$

Étape 2.1.5

Déplacez $5$ à gauche de $x \sqrt{x}$ .

$\log_{2} (\frac{5 x \sqrt{x}}{x + 1}) = 3$

Étape 3

Réécrivez $\log_{2} (\frac{5 x \sqrt{x}}{x + 1}) = 3$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ $\neq$ $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$2^{3} = \frac{5 x \sqrt{x}}{x + 1}$

Étape 4

Multipliez en croix pour retirer la fraction.

$5 x \sqrt{x} = 2^{3} (x + 1)$

Étape 5

Simplifiez $2^{3} (x + 1)$ .

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Étape 5.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$5 x \sqrt{x} = 8 (x + 1)$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$5 x \sqrt{x} = 8 x + 8 \cdot 1$

Étape 5.3

Multipliez $8$ par $1$ .

$5 x \sqrt{x} = 8 x + 8$

Étape 6

Soustrayez $8 x$ des deux côtés de l’équation.

$5 x \sqrt{x} - 8 x = 8$

Étape 7

Factorisez $x$ à partir de $5 x \sqrt{x} - 8 x$ .

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Étape 7.1

Factorisez $x$ à partir de $5 x \sqrt{x}$ .

$x (5 \sqrt{x}) - 8 x = 8$

Étape 7.2

Factorisez $x$ à partir de $- 8 x$ .

$x (5 \sqrt{x}) + x \cdot - 8 = 8$

Étape 7.3

Factorisez $x$ à partir de $x (5 \sqrt{x}) + x \cdot - 8$ .

$x (5 \sqrt{x} - 8) = 8$

Étape 8

Résolvez $5 \sqrt{x}$ .

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $x (5 \sqrt{x} - 8) = 8$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 8.1.1

Divisez chaque terme dans $x (5 \sqrt{x} - 8) = 8$ par $x$ .

$\frac{x (5 \sqrt{x} - 8)}{x} = \frac{8}{x}$

Étape 8.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.1.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 8.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (5 \sqrt{x} - 8)}{x} = \frac{8}{x}$

Étape 8.1.2.1.2

Divisez $5 \sqrt{x} - 8$ par $1$ .

$5 \sqrt{x} - 8 = \frac{8}{x}$

Étape 8.2

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$5 \sqrt{x} = \frac{8}{x} + 8$

Étape 9

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(5 \sqrt{x})}^{2} = {(\frac{8}{x} + 8)}^{2}$

Étape 10

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 10.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(5 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{8}{x} + 8)}^{2}$

Étape 10.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.2.1

Simplifiez ${(5 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 10.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $5 x^{\frac{1}{2}}$ .

$5^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{8}{x} + 8)}^{2}$

Étape 10.2.1.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$25 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{8}{x} + 8)}^{2}$

Étape 10.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 10.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$25 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{8}{x} + 8)}^{2}$

Étape 10.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$25 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{8}{x} + 8)}^{2}$

Étape 10.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$25 x^{1} = {(\frac{8}{x} + 8)}^{2}$

Étape 10.2.1.4

Simplifiez

$25 x = {(\frac{8}{x} + 8)}^{2}$

Étape 10.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.3.1

Simplifiez ${(\frac{8}{x} + 8)}^{2}$ .

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Étape 10.3.1.1

Réécrivez ${(\frac{8}{x} + 8)}^{2}$ comme $(\frac{8}{x} + 8) (\frac{8}{x} + 8)$ .

$25 x = (\frac{8}{x} + 8) (\frac{8}{x} + 8)$

Étape 10.3.1.2

Développez $(\frac{8}{x} + 8) (\frac{8}{x} + 8)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 10.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$25 x = \frac{8}{x} (\frac{8}{x} + 8) + 8 (\frac{8}{x} + 8)$

Étape 10.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$25 x = \frac{8}{x} \cdot \frac{8}{x} + \frac{8}{x} \cdot 8 + 8 (\frac{8}{x} + 8)$

Étape 10.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$25 x = \frac{8}{x} \cdot \frac{8}{x} + \frac{8}{x} \cdot 8 + 8 \frac{8}{x} + 8 \cdot 8$

Étape 10.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 10.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.3.1.3.1.1

Multipliez $\frac{8}{x} \cdot \frac{8}{x}$ .

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Étape 10.3.1.3.1.1.1

Multipliez $\frac{8}{x}$ par $\frac{8}{x}$ .

$25 x = \frac{8 \cdot 8}{x \cdot x} + \frac{8}{x} \cdot 8 + 8 \frac{8}{x} + 8 \cdot 8$

Étape 10.3.1.3.1.1.2

Multipliez $8$ par $8$ .

$25 x = \frac{64}{x \cdot x} + \frac{8}{x} \cdot 8 + 8 \frac{8}{x} + 8 \cdot 8$

Étape 10.3.1.3.1.1.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$25 x = \frac{64}{x^{1} x} + \frac{8}{x} \cdot 8 + 8 \frac{8}{x} + 8 \cdot 8$

Étape 10.3.1.3.1.1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$25 x = \frac{64}{x^{1} x^{1}} + \frac{8}{x} \cdot 8 + 8 \frac{8}{x} + 8 \cdot 8$

Étape 10.3.1.3.1.1.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$25 x = \frac{64}{x^{1 + 1}} + \frac{8}{x} \cdot 8 + 8 \frac{8}{x} + 8 \cdot 8$

Étape 10.3.1.3.1.1.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$25 x = \frac{64}{x^{2}} + \frac{8}{x} \cdot 8 + 8 \frac{8}{x} + 8 \cdot 8$

Étape 10.3.1.3.1.2

Multipliez $\frac{8}{x} \cdot 8$ .

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Étape 10.3.1.3.1.2.1

Associez $\frac{8}{x}$ et $8$ .

$25 x = \frac{64}{x^{2}} + \frac{8 \cdot 8}{x} + 8 \frac{8}{x} + 8 \cdot 8$

Étape 10.3.1.3.1.2.2

Multipliez $8$ par $8$ .

$25 x = \frac{64}{x^{2}} + \frac{64}{x} + 8 \frac{8}{x} + 8 \cdot 8$

Étape 10.3.1.3.1.3

Multipliez $8 \frac{8}{x}$ .

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Étape 10.3.1.3.1.3.1

Associez $8$ et $\frac{8}{x}$ .

$25 x = \frac{64}{x^{2}} + \frac{64}{x} + \frac{8 \cdot 8}{x} + 8 \cdot 8$

Étape 10.3.1.3.1.3.2

Multipliez $8$ par $8$ .

$25 x = \frac{64}{x^{2}} + \frac{64}{x} + \frac{64}{x} + 8 \cdot 8$

Étape 10.3.1.3.1.4

Multipliez $8$ par $8$ .

$25 x = \frac{64}{x^{2}} + \frac{64}{x} + \frac{64}{x} + 64$

Étape 10.3.1.3.2

Additionnez $\frac{64}{x}$ et $\frac{64}{x}$ .

$25 x = \frac{64}{x^{2}} + 2 \frac{64}{x} + 64$

Étape 10.3.1.4

Multipliez $2 \frac{64}{x}$ .

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Étape 10.3.1.4.1

Associez $2$ et $\frac{64}{x}$ .

$25 x = \frac{64}{x^{2}} + \frac{2 \cdot 64}{x} + 64$

Étape 10.3.1.4.2

Multipliez $2$ par $64$ .

$25 x = \frac{64}{x^{2}} + \frac{128}{x} + 64$

Étape 11

Résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 11.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, x^{2}, x, 1$

Étape 11.1.2

Since $1, x^{2}, x, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{2}, x^{1}$ .

Étape 11.1.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 11.1.4

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 11.1.5

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

Étape 11.1.6

Les facteurs pour $x^{2}$ sont $x \cdot x$ , qui correspond à $x$ multipliés entre eux $2$ fois.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ se produit $2$ fois.

Étape 11.1.7

Le facteur pour $x^{1}$ est $x$ lui-même.

$x^{1} = x$

$x$ se produit $1$ fois.

Étape 11.1.8

Le plus petit multiple commun de $x^{2}, x^{1}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$x \cdot x$

Étape 11.1.9

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2}$

Étape 11.2

Multiplier chaque terme dans $25 x = \frac{64}{x^{2}} + \frac{128}{x} + 64$ par $x^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 11.2.1

Multipliez chaque terme dans $25 x = \frac{64}{x^{2}} + \frac{128}{x} + 64$ par $x^{2}$ .

$25 x \cdot x^{2} = \frac{64}{x^{2}} x^{2} + \frac{128}{x} x^{2} + 64 x^{2}$

Étape 11.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 11.2.2.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.2.2.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$25 (x^{2} x) = \frac{64}{x^{2}} x^{2} + \frac{128}{x} x^{2} + 64 x^{2}$

Étape 11.2.2.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 11.2.2.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$25 (x^{2} x^{1}) = \frac{64}{x^{2}} x^{2} + \frac{128}{x} x^{2} + 64 x^{2}$

Étape 11.2.2.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$25 x^{2 + 1} = \frac{64}{x^{2}} x^{2} + \frac{128}{x} x^{2} + 64 x^{2}$

Étape 11.2.2.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$25 x^{3} = \frac{64}{x^{2}} x^{2} + \frac{128}{x} x^{2} + 64 x^{2}$

Étape 11.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.3.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 11.2.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$25 x^{3} = \frac{64}{x^{2}} x^{2} + \frac{128}{x} x^{2} + 64 x^{2}$

Étape 11.2.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$25 x^{3} = 64 + \frac{128}{x} x^{2} + 64 x^{2}$

Étape 11.2.3.1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 11.2.3.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$25 x^{3} = 64 + \frac{128}{x} (x \cdot x) + 64 x^{2}$

Étape 11.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$25 x^{3} = 64 + \frac{128}{x} (x \cdot x) + 64 x^{2}$

Étape 11.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$25 x^{3} = 64 + 128 x + 64 x^{2}$

Étape 11.3

Résolvez l’équation.

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Étape 11.3.1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 11.3.1.1

Soustrayez $64$ des deux côtés de l’équation.

$25 x^{3} - 64 = 128 x + 64 x^{2}$

Étape 11.3.1.2

Soustrayez $128 x$ des deux côtés de l’équation.

$25 x^{3} - 64 - 128 x = 64 x^{2}$

Étape 11.3.1.3

Soustrayez $64 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$25 x^{3} - 64 - 128 x - 64 x^{2} = 0$

Étape 11.3.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 11.3.2.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$25 x^{3} - 64 x^{2} - 128 x - 64 = 0$

Étape 11.3.2.2

Factorisez $25 x^{3} - 64 x^{2} - 128 x - 64$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 11.3.2.2.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 64, \pm 2, \pm 32, \pm 4, \pm 16, \pm 8$

$q = \pm 1, \pm 25, \pm 5$

Étape 11.3.2.2.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.04, \pm 0.2, \pm 64, \pm 2.56, \pm 12.8, \pm 2, \pm 0.08, \pm 0.4, \pm 32, \pm 1.28, \pm 6.4, \pm 4, \pm 0.16, \pm 0.8, \pm 16, \pm 0.64, \pm 3.2, \pm 8, \pm 0.32, \pm 1.6$

Étape 11.3.2.2.3

Remplacez $4$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $4$ est une racine du polynôme.

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Étape 11.3.2.2.3.1

Remplacez $4$ dans le polynôme.

$25 \cdot 4^{3} - 64 \cdot 4^{2} - 128 \cdot 4 - 64$

Étape 11.3.2.2.3.2

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$25 \cdot 64 - 64 \cdot 4^{2} - 128 \cdot 4 - 64$

Étape 11.3.2.2.3.3

Multipliez $25$ par $64$ .

$1600 - 64 \cdot 4^{2} - 128 \cdot 4 - 64$

Étape 11.3.2.2.3.4

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$1600 - 64 \cdot 16 - 128 \cdot 4 - 64$

Étape 11.3.2.2.3.5

Multipliez $- 64$ par $16$ .

$1600 - 1024 - 128 \cdot 4 - 64$

Étape 11.3.2.2.3.6

Soustrayez $1024$ de $1600$ .

$576 - 128 \cdot 4 - 64$

Étape 11.3.2.2.3.7

Multipliez $- 128$ par $4$ .

$576 - 512 - 64$

Étape 11.3.2.2.3.8

Soustrayez $512$ de $576$ .

$64 - 64$

Étape 11.3.2.2.3.9

Soustrayez $64$ de $64$ .

$0$

Étape 11.3.2.2.4

Comme $4$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 4$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{25 x^{3} - 64 x^{2} - 128 x - 64}{x - 4}$

Étape 11.3.2.2.5

Divisez $25 x^{3} - 64 x^{2} - 128 x - 64$ par $x - 4$ .

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Étape 11.3.2.2.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$4$

$25 x^{3}$

$64 x^{2}$

$128 x$

$64$

Étape 11.3.2.2.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $25 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$25 x^{2}$
	$x$	-	$4$		$25 x^{3}$	-	$64 x^{2}$	-	$128 x$	-	$64$

Étape 11.3.2.2.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$25 x^{2}$
$x$	-	$4$		$25 x^{3}$	-	$64 x^{2}$	-	$128 x$	-	$64$
			+	$25 x^{3}$	-	$100 x^{2}$

Étape 11.3.2.2.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $25 x^{3} - 100 x^{2}$

				$25 x^{2}$
$x$	-	$4$		$25 x^{3}$	-	$64 x^{2}$	-	$128 x$	-	$64$
			-	$25 x^{3}$	+	$100 x^{2}$

Étape 11.3.2.2.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$25 x^{2}$
$x$	-	$4$		$25 x^{3}$	-	$64 x^{2}$	-	$128 x$	-	$64$
			-	$25 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					+	$36 x^{2}$

Étape 11.3.2.2.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$25 x^{2}$
$x$	-	$4$		$25 x^{3}$	-	$64 x^{2}$	-	$128 x$	-	$64$
			-	$25 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					+	$36 x^{2}$	-	$128 x$

Étape 11.3.2.2.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $36 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$25 x^{2}$	+	$36 x$
$x$	-	$4$		$25 x^{3}$	-	$64 x^{2}$	-	$128 x$	-	$64$
			-	$25 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					+	$36 x^{2}$	-	$128 x$

Étape 11.3.2.2.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$25 x^{2}$	+	$36 x$
$x$	-	$4$		$25 x^{3}$	-	$64 x^{2}$	-	$128 x$	-	$64$
			-	$25 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					+	$36 x^{2}$	-	$128 x$
					+	$36 x^{2}$	-	$144 x$

Étape 11.3.2.2.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $36 x^{2} - 144 x$

				$25 x^{2}$	+	$36 x$
$x$	-	$4$		$25 x^{3}$	-	$64 x^{2}$	-	$128 x$	-	$64$
			-	$25 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					+	$36 x^{2}$	-	$128 x$
					-	$36 x^{2}$	+	$144 x$

Étape 11.3.2.2.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$25 x^{2}$	+	$36 x$
$x$	-	$4$		$25 x^{3}$	-	$64 x^{2}$	-	$128 x$	-	$64$
			-	$25 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					+	$36 x^{2}$	-	$128 x$
					-	$36 x^{2}$	+	$144 x$
							+	$16 x$

Étape 11.3.2.2.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$25 x^{2}$	+	$36 x$
$x$	-	$4$		$25 x^{3}$	-	$64 x^{2}$	-	$128 x$	-	$64$
			-	$25 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					+	$36 x^{2}$	-	$128 x$
					-	$36 x^{2}$	+	$144 x$
							+	$16 x$	-	$64$

Étape 11.3.2.2.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $16 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$25 x^{2}$	+	$36 x$	+	$16$
$x$	-	$4$		$25 x^{3}$	-	$64 x^{2}$	-	$128 x$	-	$64$
			-	$25 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					+	$36 x^{2}$	-	$128 x$
					-	$36 x^{2}$	+	$144 x$
							+	$16 x$	-	$64$

Étape 11.3.2.2.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$25 x^{2}$	+	$36 x$	+	$16$
$x$	-	$4$		$25 x^{3}$	-	$64 x^{2}$	-	$128 x$	-	$64$
			-	$25 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					+	$36 x^{2}$	-	$128 x$
					-	$36 x^{2}$	+	$144 x$
							+	$16 x$	-	$64$
							+	$16 x$	-	$64$

Étape 11.3.2.2.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $16 x - 64$

				$25 x^{2}$	+	$36 x$	+	$16$
$x$	-	$4$		$25 x^{3}$	-	$64 x^{2}$	-	$128 x$	-	$64$
			-	$25 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					+	$36 x^{2}$	-	$128 x$
					-	$36 x^{2}$	+	$144 x$
							+	$16 x$	-	$64$
							-	$16 x$	+	$64$

Étape 11.3.2.2.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$25 x^{2}$	+	$36 x$	+	$16$
$x$	-	$4$		$25 x^{3}$	-	$64 x^{2}$	-	$128 x$	-	$64$
			-	$25 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					+	$36 x^{2}$	-	$128 x$
					-	$36 x^{2}$	+	$144 x$
							+	$16 x$	-	$64$
							-	$16 x$	+	$64$
										$0$

Étape 11.3.2.2.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$25 x^{2} + 36 x + 16$

Étape 11.3.2.2.6

Écrivez $25 x^{3} - 64 x^{2} - 128 x - 64$ comme un ensemble de facteurs.

$(x - 4) (25 x^{2} + 36 x + 16) = 0$

Étape 11.3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 4 = 0$

$25 x^{2} + 36 x + 16 = 0$

Étape 11.3.4

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.3.4.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 11.3.4.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 11.3.5

Définissez $25 x^{2} + 36 x + 16$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.3.5.1

Définissez $25 x^{2} + 36 x + 16$ égal à $0$ .

$25 x^{2} + 36 x + 16 = 0$

Étape 11.3.5.2

Résolvez $25 x^{2} + 36 x + 16 = 0$ pour $x$ .

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Étape 11.3.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 11.3.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 25$ , $b = 36$ et $c = 16$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 36 \pm \sqrt{36^{2} - 4 \cdot (25 \cdot 16)}}{2 \cdot 25}$

Étape 11.3.5.2.3

Simplifiez

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Étape 11.3.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.3.5.2.3.1.1

Élevez $36$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 25 \cdot 16}}{2 \cdot 25}$

Étape 11.3.5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 25 \cdot 16$ .

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Étape 11.3.5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $25$ .

$x = \frac{- 36 \pm \sqrt{1296 - 100 \cdot 16}}{2 \cdot 25}$

Étape 11.3.5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 100$ par $16$ .

$x = \frac{- 36 \pm \sqrt{1296 - 1600}}{2 \cdot 25}$

Étape 11.3.5.2.3.1.3

Soustrayez $1600$ de $1296$ .

$x = \frac{- 36 \pm \sqrt{- 304}}{2 \cdot 25}$

Étape 11.3.5.2.3.1.4

Réécrivez $- 304$ comme $- 1 (304)$ .

$x = \frac{- 36 \pm \sqrt{- 1 \cdot 304}}{2 \cdot 25}$

Étape 11.3.5.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (304)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{304}$ .

$x = \frac{- 36 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{304}}{2 \cdot 25}$

Étape 11.3.5.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 36 \pm i \cdot \sqrt{304}}{2 \cdot 25}$

Étape 11.3.5.2.3.1.7

Réécrivez $304$ comme $4^{2} \cdot 19$ .

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Étape 11.3.5.2.3.1.7.1

Factorisez $16$ à partir de $304$ .

$x = \frac{- 36 \pm i \cdot \sqrt{16 (19)}}{2 \cdot 25}$

Étape 11.3.5.2.3.1.7.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{- 36 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 25}$

Étape 11.3.5.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 36 \pm i \cdot (4 \sqrt{19})}{2 \cdot 25}$

Étape 11.3.5.2.3.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 36 \pm 4 i \sqrt{19}}{2 \cdot 25}$

Étape 11.3.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $25$ .

$x = \frac{- 36 \pm 4 i \sqrt{19}}{50}$

Étape 11.3.5.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 36 \pm 4 i \sqrt{19}}{50}$ .

$x = \frac{- 18 \pm 2 i \sqrt{19}}{25}$

Étape 11.3.5.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{18 - 2 i \sqrt{19}}{25}, - \frac{18 + 2 i \sqrt{19}}{25}$

Étape 11.3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 4) (25 x^{2} + 36 x + 16) = 0$ vraie.

$x = 4, - \frac{18 - 2 i \sqrt{19}}{25}, - \frac{18 + 2 i \sqrt{19}}{25}$