Pré-calcul Exemples

$\log_{b} (2 x^{2} + 5 x - 7) - \log_{b} (2 x + 7) (r^{2} - 1) + \log_{b} (x + 1) = 0$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) (r^{2} - 1) + \log_{b} ((2 x^{2} + 5 x - 7) (x + 1)) = 0$

Étape 1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} - \log_{b} (2 x + 7) \cdot - 1 + \log_{b} ((2 x^{2} + 5 x - 7) (x + 1)) = 0$

Étape 1.2.2

Multipliez $- \log_{b} (2 x + 7) \cdot - 1$ .

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Étape 1.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + 1 \log_{b} (2 x + 7) + \log_{b} ((2 x^{2} + 5 x - 7) (x + 1)) = 0$

Étape 1.2.2.2

Multipliez $\log_{b} (2 x + 7)$ par $1$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (2 x + 7) + \log_{b} ((2 x^{2} + 5 x - 7) (x + 1)) = 0$

Étape 1.2.3

Développez $(2 x^{2} + 5 x - 7) (x + 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (2 x + 7) + \log_{b} (2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot 1 + 5 x \cdot x + 5 x \cdot 1 - 7 x - 7 \cdot 1) = 0$

Étape 1.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.4.1.1

Déplacez $x$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (2 x + 7) + \log_{b} (2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 5 x \cdot x + 5 x \cdot 1 - 7 x - 7 \cdot 1) = 0$

Étape 1.2.4.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.2.4.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (2 x + 7) + \log_{b} (2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 5 x \cdot x + 5 x \cdot 1 - 7 x - 7 \cdot 1) = 0$

Étape 1.2.4.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (2 x + 7) + \log_{b} (2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot 1 + 5 x \cdot x + 5 x \cdot 1 - 7 x - 7 \cdot 1) = 0$

Étape 1.2.4.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (2 x + 7) + \log_{b} (2 x^{3} + 2 x^{2} \cdot 1 + 5 x \cdot x + 5 x \cdot 1 - 7 x - 7 \cdot 1) = 0$

Étape 1.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (2 x + 7) + \log_{b} (2 x^{3} + 2 x^{2} + 5 x \cdot x + 5 x \cdot 1 - 7 x - 7 \cdot 1) = 0$

Étape 1.2.4.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.4.3.1

Déplacez $x$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (2 x + 7) + \log_{b} (2 x^{3} + 2 x^{2} + 5 (x \cdot x) + 5 x \cdot 1 - 7 x - 7 \cdot 1) = 0$

Étape 1.2.4.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (2 x + 7) + \log_{b} (2 x^{3} + 2 x^{2} + 5 x^{2} + 5 x \cdot 1 - 7 x - 7 \cdot 1) = 0$

Étape 1.2.4.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (2 x + 7) + \log_{b} (2 x^{3} + 2 x^{2} + 5 x^{2} + 5 x - 7 x - 7 \cdot 1) = 0$

Étape 1.2.4.5

Multipliez $- 7$ par $1$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (2 x + 7) + \log_{b} (2 x^{3} + 2 x^{2} + 5 x^{2} + 5 x - 7 x - 7) = 0$

Étape 1.2.5

Additionnez $2 x^{2}$ et $5 x^{2}$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (2 x + 7) + \log_{b} (2 x^{3} + 7 x^{2} + 5 x - 7 x - 7) = 0$

Étape 1.2.6

Soustrayez $7 x$ de $5 x$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (2 x + 7) + \log_{b} (2 x^{3} + 7 x^{2} - 2 x - 7) = 0$

Étape 1.3

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} ((2 x + 7) (2 x^{3} + 7 x^{2} - 2 x - 7)) = 0$

Étape 1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1

Développez $(2 x + 7) (2 x^{3} + 7 x^{2} - 2 x - 7)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (2 x (2 x^{3}) + 2 x (7 x^{2}) + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot - 7 + 7 (2 x^{3}) + 7 (7 x^{2}) + 7 (- 2 x) + 7 \cdot - 7) = 0$

Étape 1.4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (2 \cdot (2 x \cdot x^{3}) + 2 x (7 x^{2}) + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot - 7 + 7 (2 x^{3}) + 7 (7 x^{2}) + 7 (- 2 x) + 7 \cdot - 7) = 0$

Étape 1.4.2.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.2.2.1

Déplacez $x^{3}$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (2 \cdot (2 (x^{3} x)) + 2 x (7 x^{2}) + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot - 7 + 7 (2 x^{3}) + 7 (7 x^{2}) + 7 (- 2 x) + 7 \cdot - 7) = 0$

Étape 1.4.2.2.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

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Étape 1.4.2.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (2 \cdot (2 (x^{3} x)) + 2 x (7 x^{2}) + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot - 7 + 7 (2 x^{3}) + 7 (7 x^{2}) + 7 (- 2 x) + 7 \cdot - 7) = 0$

Étape 1.4.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (2 \cdot (2 x^{3 + 1}) + 2 x (7 x^{2}) + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot - 7 + 7 (2 x^{3}) + 7 (7 x^{2}) + 7 (- 2 x) + 7 \cdot - 7) = 0$

Étape 1.4.2.2.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (2 \cdot (2 x^{4}) + 2 x (7 x^{2}) + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot - 7 + 7 (2 x^{3}) + 7 (7 x^{2}) + 7 (- 2 x) + 7 \cdot - 7) = 0$

Étape 1.4.2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (4 x^{4} + 2 x (7 x^{2}) + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot - 7 + 7 (2 x^{3}) + 7 (7 x^{2}) + 7 (- 2 x) + 7 \cdot - 7) = 0$

Étape 1.4.2.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (4 x^{4} + 2 \cdot (7 x \cdot x^{2}) + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot - 7 + 7 (2 x^{3}) + 7 (7 x^{2}) + 7 (- 2 x) + 7 \cdot - 7) = 0$

Étape 1.4.2.5

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.2.5.1

Déplacez $x^{2}$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (4 x^{4} + 2 \cdot (7 (x^{2} x)) + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot - 7 + 7 (2 x^{3}) + 7 (7 x^{2}) + 7 (- 2 x) + 7 \cdot - 7) = 0$

Étape 1.4.2.5.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 1.4.2.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (4 x^{4} + 2 \cdot (7 (x^{2} x)) + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot - 7 + 7 (2 x^{3}) + 7 (7 x^{2}) + 7 (- 2 x) + 7 \cdot - 7) = 0$

Étape 1.4.2.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (4 x^{4} + 2 \cdot (7 x^{2 + 1}) + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot - 7 + 7 (2 x^{3}) + 7 (7 x^{2}) + 7 (- 2 x) + 7 \cdot - 7) = 0$

Étape 1.4.2.5.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (4 x^{4} + 2 \cdot (7 x^{3}) + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot - 7 + 7 (2 x^{3}) + 7 (7 x^{2}) + 7 (- 2 x) + 7 \cdot - 7) = 0$

Étape 1.4.2.6

Multipliez $2$ par $7$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (4 x^{4} + 14 x^{3} + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot - 7 + 7 (2 x^{3}) + 7 (7 x^{2}) + 7 (- 2 x) + 7 \cdot - 7) = 0$

Étape 1.4.2.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (4 x^{4} + 14 x^{3} + 2 \cdot (- 2 x \cdot x) + 2 x \cdot - 7 + 7 (2 x^{3}) + 7 (7 x^{2}) + 7 (- 2 x) + 7 \cdot - 7) = 0$

Étape 1.4.2.8

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.2.8.1

Déplacez $x$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (4 x^{4} + 14 x^{3} + 2 \cdot (- 2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot - 7 + 7 (2 x^{3}) + 7 (7 x^{2}) + 7 (- 2 x) + 7 \cdot - 7) = 0$

Étape 1.4.2.8.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (4 x^{4} + 14 x^{3} + 2 \cdot (- 2 x^{2}) + 2 x \cdot - 7 + 7 (2 x^{3}) + 7 (7 x^{2}) + 7 (- 2 x) + 7 \cdot - 7) = 0$

Étape 1.4.2.9

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (4 x^{4} + 14 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x \cdot - 7 + 7 (2 x^{3}) + 7 (7 x^{2}) + 7 (- 2 x) + 7 \cdot - 7) = 0$

Étape 1.4.2.10

Multipliez $- 7$ par $2$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (4 x^{4} + 14 x^{3} - 4 x^{2} - 14 x + 7 (2 x^{3}) + 7 (7 x^{2}) + 7 (- 2 x) + 7 \cdot - 7) = 0$

Étape 1.4.2.11

Multipliez $2$ par $7$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (4 x^{4} + 14 x^{3} - 4 x^{2} - 14 x + 14 x^{3} + 7 (7 x^{2}) + 7 (- 2 x) + 7 \cdot - 7) = 0$

Étape 1.4.2.12

Multipliez $7$ par $7$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (4 x^{4} + 14 x^{3} - 4 x^{2} - 14 x + 14 x^{3} + 49 x^{2} + 7 (- 2 x) + 7 \cdot - 7) = 0$

Étape 1.4.2.13

Multipliez $- 2$ par $7$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (4 x^{4} + 14 x^{3} - 4 x^{2} - 14 x + 14 x^{3} + 49 x^{2} - 14 x + 7 \cdot - 7) = 0$

Étape 1.4.2.14

Multipliez $7$ par $- 7$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (4 x^{4} + 14 x^{3} - 4 x^{2} - 14 x + 14 x^{3} + 49 x^{2} - 14 x - 49) = 0$

Étape 1.4.3

Additionnez $14 x^{3}$ et $14 x^{3}$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (4 x^{4} + 28 x^{3} - 4 x^{2} - 14 x + 49 x^{2} - 14 x - 49) = 0$

Étape 1.4.4

Additionnez $- 4 x^{2}$ et $49 x^{2}$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (4 x^{4} + 28 x^{3} + 45 x^{2} - 14 x - 14 x - 49) = 0$

Étape 1.4.5

Soustrayez $14 x$ de $- 14 x$ .

$- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (4 x^{4} + 28 x^{3} + 45 x^{2} - 28 x - 49) = 0$

Étape 1.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \log_{b} (2 x + 7) r^{2} + \log_{b} (4 x^{4} + 28 x^{3} + 45 x^{2} - 28 x - 49)$ .

$- r^{2} \log_{b} (2 x + 7) + \log_{b} (4 x^{4} + 28 x^{3} + 45 x^{2} - 28 x - 49) = 0$

Étape 2

Réécrivez $\log_{b} (4 x^{4} + 28 x^{3} + 45 x^{2} - 28 x - 49) = r^{2} \log_{b} (2 x + 7)$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$b^{r^{2} \log_{b} (2 x + 7)} = 4 x^{4} + 28 x^{3} + 45 x^{2} - 28 x - 49$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (b^{r^{2} \log_{b} (2 x + 7)}) = \ln (4 x^{4} + 28 x^{3} + 45 x^{2} - 28 x - 49)$

Étape 3.2

Développez $\ln (b^{r^{2} \log_{b} (2 x + 7)})$ en déplaçant $r^{2} \log_{b} (2 x + 7)$ hors du logarithme.

$r^{2} \log_{b} (2 x + 7) \ln (b) = \ln (4 x^{4} + 28 x^{3} + 45 x^{2} - 28 x - 49)$