Pré-calcul Exemples

$\log_{5} (x + 3) = 4 + \log_{5} (x - 5)$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\log_{5} (x + 3) - \log_{5} (x - 5) = 4$

Étape 2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{x + 3}{x - 5}) = 4$

Étape 3

Réécrivez $\log_{5} (\frac{x + 3}{x - 5}) = 4$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ $\neq$ $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$5^{4} = \frac{x + 3}{x - 5}$

Étape 4

Multipliez en croix pour retirer la fraction.

$x + 3 = 5^{4} (x - 5)$

Étape 5

Simplifiez $5^{4} (x - 5)$ .

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Étape 5.1

Élevez $5$ à la puissance $4$ .

$x + 3 = 625 (x - 5)$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$x + 3 = 625 x + 625 \cdot - 5$

Étape 5.3

Multipliez $625$ par $- 5$ .

$x + 3 = 625 x - 3125$

Étape 6

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 6.1

Soustrayez $625 x$ des deux côtés de l’équation.

$x + 3 - 625 x = - 3125$

Étape 6.2

Soustrayez $625 x$ de $x$ .

$- 624 x + 3 = - 3125$

Étape 7

Factorisez $3$ à partir de $- 624 x + 3$ .

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Étape 7.1

Factorisez $3$ à partir de $- 624 x$ .

$3 (- 208 x) + 3 = - 3125$

Étape 7.2

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$3 (- 208 x) + 3 (1) = - 3125$

Étape 7.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (- 208 x) + 3 (1)$ .

$3 (- 208 x + 1) = - 3125$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $3 (- 208 x + 1) = - 3125$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $3 (- 208 x + 1) = - 3125$ par $3$ .

$\frac{3 (- 208 x + 1)}{3} = \frac{- 3125}{3}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (- 208 x + 1)}{3} = \frac{- 3125}{3}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $- 208 x + 1$ par $1$ .

$- 208 x + 1 = \frac{- 3125}{3}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 208 x + 1 = - \frac{3125}{3}$

Étape 9

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 208 x = - \frac{3125}{3} - 1$

Étape 9.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- 208 x = - \frac{3125}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 9.3

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$- 208 x = - \frac{3125}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

Étape 9.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 208 x = \frac{- 3125 - 1 \cdot 3}{3}$

Étape 9.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 208 x = \frac{- 3125 - 3}{3}$

Étape 9.5.2

Soustrayez $3$ de $- 3125$ .

$- 208 x = \frac{- 3128}{3}$

Étape 9.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 208 x = - \frac{3128}{3}$

Étape 10

Divisez chaque terme dans $- 208 x = - \frac{3128}{3}$ par $- 208$ et simplifiez.

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Étape 10.1

Divisez chaque terme dans $- 208 x = - \frac{3128}{3}$ par $- 208$ .

$\frac{- 208 x}{- 208} = \frac{- \frac{3128}{3}}{- 208}$

Étape 10.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.2.1

Annulez le facteur commun de $- 208$ .

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Étape 10.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 208 x}{- 208} = \frac{- \frac{3128}{3}}{- 208}$

Étape 10.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- \frac{3128}{3}}{- 208}$

Étape 10.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = - \frac{3128}{3} \cdot \frac{1}{- 208}$

Étape 10.3.2

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 10.3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3128}{3}$ dans le numérateur.

$x = \frac{- 3128}{3} \cdot \frac{1}{- 208}$

Étape 10.3.2.2

Factorisez $8$ à partir de $- 3128$ .

$x = \frac{8 (- 391)}{3} \cdot \frac{1}{- 208}$

Étape 10.3.2.3

Factorisez $8$ à partir de $- 208$ .

$x = \frac{8 \cdot - 391}{3} \cdot \frac{1}{8 \cdot - 26}$

Étape 10.3.2.4

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{8 \cdot - 391}{3} \cdot \frac{1}{8 \cdot - 26}$

Étape 10.3.2.5

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{- 391}{3} \cdot \frac{1}{- 26}$

Étape 10.3.3

Multipliez $\frac{- 391}{3}$ par $\frac{1}{- 26}$ .

$x = \frac{- 391}{3 \cdot - 26}$

Étape 10.3.4

Multipliez $3$ par $- 26$ .

$x = \frac{- 391}{- 78}$

Étape 10.3.5

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{391}{78}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{391}{78}$

Forme décimale :

$x = 5.01282051 \dots$

Forme de nombre mixte :

$x = 5 \frac{1}{78}$