Pré-calcul Exemples

$\log_{5} (- 45 x) - 2 \log_{5} (2 - x) = 1 + \log_{5} (- x)$

Étape 1

Remettez dans l’ordre $2$ et $- x$ .

$\log_{5} (- 45 x) - 2 \log_{5} (- x + 2) = 1 + \log_{5} (- x)$

Étape 2

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\log_{5} (- 45 x) - 2 \log_{5} (- x + 2) - \log_{5} (- x) = 1$

Étape 3

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{- 45 x}{- x}) - 2 \log_{5} (- x + 2) = 1$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Annulez le facteur commun.

$\log_{5} (\frac{- 45 x}{- x}) - 2 \log_{5} (- x + 2) = 1$

Étape 4.1.2

Réécrivez l’expression.

$\log_{5} (\frac{- 45}{- 1}) - 2 \log_{5} (- x + 2) = 1$

Étape 4.1.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{- 45}{- 1}$ .

$\log_{5} (- 1 \cdot - 45) - 2 \log_{5} (- x + 2) = 1$

Étape 4.2

Réécrivez $- 1 \cdot - 45$ comme $- - 45$ .

$\log_{5} (45) - 2 \log_{5} (- x + 2) = 1$

Étape 4.3

Multipliez $- 1$ par $- 45$ .

$\log_{5} (45) - 2 \log_{5} (- x + 2) = 1$

Étape 5

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Simplifiez $\log_{5} (45) - 2 \log_{5} (- x + 2)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Simplifiez $- 2 \log_{5} (- x + 2)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\log_{5} (45) - \log_{5} ({(- x + 2)}^{2}) = 1$

Étape 5.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{45}{{(- x + 2)}^{2}}) = 1$

Étape 6

Réécrivez $\log_{5} (\frac{45}{{(- x + 2)}^{2}}) = 1$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$5^{1} = \frac{45}{{(- x + 2)}^{2}}$

Étape 7

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{45}{{(- x + 2)}^{2}} = 5^{1}$ .

$\frac{45}{{(- x + 2)}^{2}} = 5$

Étape 7.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

${(- x + 2)}^{2}, 1$

Étape 7.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

${(- x + 2)}^{2}$

Étape 7.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{45}{{(- x + 2)}^{2}} = 5$ par ${(- x + 2)}^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{45}{{(- x + 2)}^{2}} = 5$ par ${(- x + 2)}^{2}$ .

$\frac{45}{{(- x + 2)}^{2}} {(- x + 2)}^{2} = 5 {(- x + 2)}^{2}$

Étape 7.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.1

Annulez le facteur commun de ${(- x + 2)}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{45}{{(- x + 2)}^{2}} {(- x + 2)}^{2} = 5 {(- x + 2)}^{2}$

Étape 7.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$45 = 5 {(- x + 2)}^{2}$

Étape 7.4

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.1

Réécrivez l’équation comme $5 {(- x + 2)}^{2} = 45$ .

$5 {(- x + 2)}^{2} = 45$

Étape 7.4.2

Divisez chaque terme dans $5 {(- x + 2)}^{2} = 45$ par $5$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.2.1

Divisez chaque terme dans $5 {(- x + 2)}^{2} = 45$ par $5$ .

$\frac{5 {(- x + 2)}^{2}}{5} = \frac{45}{5}$

Étape 7.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 {(- x + 2)}^{2}}{5} = \frac{45}{5}$

Étape 7.4.2.2.1.2

Divisez ${(- x + 2)}^{2}$ par $1$ .

${(- x + 2)}^{2} = \frac{45}{5}$

Étape 7.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.2.3.1

Divisez $45$ par $5$ .

${(- x + 2)}^{2} = 9$

Étape 7.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$- x + 2 = \pm \sqrt{9}$

Étape 7.4.4

Simplifiez $\pm \sqrt{9}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.4.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$- x + 2 = \pm \sqrt{3^{2}}$

Étape 7.4.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$- x + 2 = \pm 3$

Étape 7.4.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$- x + 2 = 3$

Étape 7.4.5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.5.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- x = 3 - 2$

Étape 7.4.5.2.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$- x = 1$

Étape 7.4.5.3

Divisez chaque terme dans $- x = 1$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.5.3.1

Divisez chaque terme dans $- x = 1$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Étape 7.4.5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.5.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{1}{- 1}$

Étape 7.4.5.3.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{- 1}$

Étape 7.4.5.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.5.3.3.1

Divisez $1$ par $- 1$ .

$x = - 1$

Étape 7.4.5.4

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$- x + 2 = - 3$

Étape 7.4.5.5

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.5.5.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 3 - 2$

Étape 7.4.5.5.2

Soustrayez $2$ de $- 3$ .

$- x = - 5$

Étape 7.4.5.6

Divisez chaque terme dans $- x = - 5$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.5.6.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 5$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Étape 7.4.5.6.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.5.6.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Étape 7.4.5.6.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 1}$

Étape 7.4.5.6.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.5.6.3.1

Divisez $- 5$ par $- 1$ .

$x = 5$

Étape 7.4.5.7

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = - 1, 5$

Étape 8

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log_{5} (- 45 x) - 2 \log_{5} (2 - x) = 1 + \log_{5} (- x)$ vrai.

$x = - 1$