Pré-calcul Exemples

$\log_{3} (x + 1) - 2 \log_{3} (x - 1) = 1$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\log_{3} (x + 1) - 2 \log_{3} (x - 1) = 1$

Étape 2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1

Simplifiez $\log_{3} (x + 1) - 2 \log_{3} (x - 1)$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez $- 2 \log_{3} (x - 1)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\log_{3} (x + 1) - \log_{3} ({(x - 1)}^{2}) = 1$

Étape 2.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{x + 1}{{(x - 1)}^{2}}) = 1$

Étape 3

Réécrivez $\log_{3} (\frac{x + 1}{{(x - 1)}^{2}}) = 1$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ $\neq$ $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$3^{1} = \frac{x + 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 4

Multipliez en croix pour retirer la fraction.

$x + 1 = 3 ({(x - 1)}^{2})$

Étape 5

Simplifiez $3 ({(x - 1)}^{2})$ .

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Étape 5.1

Réécrivez ${(x - 1)}^{2}$ comme $(x - 1) (x - 1)$ .

$x + 1 = 3 ((x - 1) (x - 1))$

Étape 5.2

Développez $(x - 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x + 1 = 3 (x (x - 1) - 1 (x - 1))$

Étape 5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x + 1 = 3 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))$

Étape 5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x + 1 = 3 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Étape 5.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x + 1 = 3 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Étape 5.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$x + 1 = 3 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Étape 5.3.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$x + 1 = 3 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Étape 5.3.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$x + 1 = 3 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)$

Étape 5.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x + 1 = 3 (x^{2} - x - x + 1)$

Étape 5.3.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$x + 1 = 3 (x^{2} - 2 x + 1)$

Étape 5.4

Appliquez la propriété distributive.

$x + 1 = 3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 1$

Étape 5.5

Simplifiez

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Étape 5.5.1

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$x + 1 = 3 x^{2} - 6 x + 3 \cdot 1$

Étape 5.5.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$x + 1 = 3 x^{2} - 6 x + 3$

Étape 6

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 6.1

Soustrayez $3 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$x + 1 - 3 x^{2} = - 6 x + 3$

Étape 6.2

Ajoutez $6 x$ aux deux côtés de l’équation.

$x + 1 - 3 x^{2} + 6 x = 3$

Étape 6.3

Additionnez $x$ et $6 x$ .

$7 x + 1 - 3 x^{2} = 3$

Étape 7

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 7.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$7 x - 3 x^{2} = 3 - 1$

Étape 7.2

Soustrayez $1$ de $3$ .

$7 x - 3 x^{2} = 2$

Étape 8

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$7 x - 3 x^{2} - 2 = 0$

Étape 9

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 9.1

Factorisez $- 1$ à partir de $7 x - 3 x^{2} - 2$ .

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Étape 9.1.1

Remettez dans l’ordre $7 x$ et $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 7 x - 2 = 0$

Étape 9.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$- (3 x^{2}) + 7 x - 2 = 0$

Étape 9.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $7 x$ .

$- (3 x^{2}) - (- 7 x) - 2 = 0$

Étape 9.1.4

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$- (3 x^{2}) - (- 7 x) - 1 \cdot 2 = 0$

Étape 9.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2}) - (- 7 x)$ .

$- (3 x^{2} - 7 x) - 1 \cdot 2 = 0$

Étape 9.1.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2} - 7 x) - 1 (2)$ .

$- (3 x^{2} - 7 x + 2) = 0$

Étape 9.2

Factorisez.

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Étape 9.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 9.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot 2 = 6$ et dont la somme est $b = - 7$ .

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Étape 9.2.1.1.1

Factorisez $- 7$ à partir de $- 7 x$ .

$- (3 x^{2} - 7 x + 2) = 0$

Étape 9.2.1.1.2

Réécrivez $- 7$ comme $- 1$ plus $- 6$

$- (3 x^{2} + (- 1 - 6) x + 2) = 0$

Étape 9.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- (3 x^{2} - 1 x - 6 x + 2) = 0$

Étape 9.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 9.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- ((3 x^{2} - 1 x) - 6 x + 2) = 0$

Étape 9.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$- (x (3 x - 1) - 2 (3 x - 1)) = 0$

Étape 9.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x - 1$ .

$- ((3 x - 1) (x - 2)) = 0$

Étape 9.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (3 x - 1) (x - 2) = 0$

Étape 10

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 11

Définissez $3 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Définissez $3 x - 1$ égal à $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Étape 11.2

Résolvez $3 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 11.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 1$

Étape 11.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 11.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 1$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 11.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 11.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 11.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 11.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Étape 12

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 12.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 13

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (3 x - 1) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{3}, 2$

Étape 14

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log_{3} (x + 1) - 2 \log_{3} (x - 1) = 1$ vrai.

$x = 2$