Pré-calcul Exemples

$\ln (r^{7} s^{8} \sqrt[7]{r^{4} s^{9}})$

Étape 1

Réécrivez $\ln (r^{7} s^{8} \sqrt[7]{r^{4} s^{9}})$ comme $\ln (r^{7} s^{8}) + \ln (\sqrt[7]{r^{4} s^{9}})$ .

$\ln (r^{7} s^{8}) + \ln (\sqrt[7]{r^{4} s^{9}})$

Étape 2

Réécrivez $\ln (r^{7} s^{8})$ comme $\ln (r^{7}) + \ln (s^{8})$ .

$\ln (r^{7}) + \ln (s^{8}) + \ln (\sqrt[7]{r^{4} s^{9}})$

Étape 3

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[7]{r^{4} s^{9}}$ comme ${(r^{4} s^{9})}^{\frac{1}{7}}$ .

$\ln (r^{7}) + \ln (s^{8}) + \ln ({(r^{4} s^{9})}^{\frac{1}{7}})$

Étape 4

Développez $\ln (r^{7})$ en déplaçant $7$ hors du logarithme.

$7 \ln (r) + \ln (s^{8}) + \ln ({(r^{4} s^{9})}^{\frac{1}{7}})$

Étape 5

Développez $\ln (s^{8})$ en déplaçant $8$ hors du logarithme.

$7 \ln (r) + 8 \ln (s) + \ln ({(r^{4} s^{9})}^{\frac{1}{7}})$

Étape 6

Développez $\ln ({(r^{4} s^{9})}^{\frac{1}{7}})$ en déplaçant $\frac{1}{7}$ hors du logarithme.

$7 \ln (r) + 8 \ln (s) + \frac{1}{7} \ln (r^{4} s^{9})$

Étape 7

Réécrivez $\ln (r^{4} s^{9})$ comme $\ln (r^{4}) + \ln (s^{9})$ .

$7 \ln (r) + 8 \ln (s) + \frac{1}{7} (\ln (r^{4}) + \ln (s^{9}))$

Étape 8

Développez $\ln (r^{4})$ en déplaçant $4$ hors du logarithme.

$7 \ln (r) + 8 \ln (s) + \frac{1}{7} (4 \ln (r) + \ln (s^{9}))$

Étape 9

Développez $\ln (s^{9})$ en déplaçant $9$ hors du logarithme.

$7 \ln (r) + 8 \ln (s) + \frac{1}{7} (4 \ln (r) + 9 \ln (s))$

Étape 10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1

Appliquez la propriété distributive.

$7 \ln (r) + 8 \ln (s) + \frac{1}{7} (4 \ln (r)) + \frac{1}{7} (9 \ln (s))$

Étape 10.2

Multipliez $\frac{1}{7} (4 \ln (r))$ .

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Étape 10.2.1

Associez $4$ et $\frac{1}{7}$ .

$7 \ln (r) + 8 \ln (s) + \frac{4}{7} \ln (r) + \frac{1}{7} (9 \ln (s))$

Étape 10.2.2

Associez $\frac{4}{7}$ et $\ln (r)$ .

$7 \ln (r) + 8 \ln (s) + \frac{4 \ln (r)}{7} + \frac{1}{7} (9 \ln (s))$

Étape 10.3

Multipliez $\frac{1}{7} (9 \ln (s))$ .

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Étape 10.3.1

Associez $9$ et $\frac{1}{7}$ .

$7 \ln (r) + 8 \ln (s) + \frac{4 \ln (r)}{7} + \frac{9}{7} \ln (s)$

Étape 10.3.2

Associez $\frac{9}{7}$ et $\ln (s)$ .

$7 \ln (r) + 8 \ln (s) + \frac{4 \ln (r)}{7} + \frac{9 \ln (s)}{7}$

Étape 11

Pour écrire $7 \ln (r)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$8 \ln (s) + 7 \ln (r) \cdot \frac{7}{7} + \frac{4 \ln (r)}{7} + \frac{9 \ln (s)}{7}$

Étape 12

Associez $7 \ln (r)$ et $\frac{7}{7}$ .

$8 \ln (s) + \frac{7 \ln (r) \cdot 7}{7} + \frac{4 \ln (r)}{7} + \frac{9 \ln (s)}{7}$

Étape 13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$8 \ln (s) + \frac{7 \ln (r) \cdot 7 + 4 \ln (r)}{7} + \frac{9 \ln (s)}{7}$

Étape 14

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.1.1

Factorisez $\ln (r)$ à partir de $7 \ln (r) \cdot 7 + 4 \ln (r)$ .

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Étape 14.1.1.1

Factorisez $\ln (r)$ à partir de $7 \ln (r) \cdot 7$ .

$8 \ln (s) + \frac{\ln (r) (7 \cdot 7) + 4 \ln (r)}{7} + \frac{9 \ln (s)}{7}$

Étape 14.1.1.2

Factorisez $\ln (r)$ à partir de $4 \ln (r)$ .

$8 \ln (s) + \frac{\ln (r) (7 \cdot 7) + \ln (r) \cdot 4}{7} + \frac{9 \ln (s)}{7}$

Étape 14.1.1.3

Factorisez $\ln (r)$ à partir de $\ln (r) (7 \cdot 7) + \ln (r) \cdot 4$ .

$8 \ln (s) + \frac{\ln (r) (7 \cdot 7 + 4)}{7} + \frac{9 \ln (s)}{7}$

Étape 14.1.2

Multipliez $7$ par $7$ .

$8 \ln (s) + \frac{\ln (r) (49 + 4)}{7} + \frac{9 \ln (s)}{7}$

Étape 14.1.3

Additionnez $49$ et $4$ .

$8 \ln (s) + \frac{\ln (r) \cdot 53}{7} + \frac{9 \ln (s)}{7}$

Étape 14.2

Déplacez $53$ à gauche de $\ln (r)$ .

$8 \ln (s) + \frac{53 \ln (r)}{7} + \frac{9 \ln (s)}{7}$

Étape 15

Pour écrire $8 \ln (s)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$8 \ln (s) \cdot \frac{7}{7} + \frac{9 \ln (s)}{7} + \frac{53 \ln (r)}{7}$

Étape 16

Associez $8 \ln (s)$ et $\frac{7}{7}$ .

$\frac{8 \ln (s) \cdot 7}{7} + \frac{9 \ln (s)}{7} + \frac{53 \ln (r)}{7}$

Étape 17

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{8 \ln (s) \cdot 7 + 9 \ln (s)}{7} + \frac{53 \ln (r)}{7}$

Étape 18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{8 \ln (s) \cdot 7 + 9 \ln (s) + 53 \ln (r)}{7}$

Étape 19

Simplifiez le numérateur.

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Étape 19.1

Multipliez $7$ par $8$ .

$\frac{56 \ln (s) + 9 \ln (s) + 53 \ln (r)}{7}$

Étape 19.2

Additionnez $56 \ln (s)$ et $9 \ln (s)$ .

$\frac{65 \ln (s) + 53 \ln (r)}{7}$