Pré-calcul Exemples

$\log_{b} (\sqrt[4]{\frac{x^{5} b^{6}}{y^{4} z^{10}}})$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{\frac{x^{5} b^{6}}{y^{4} z^{10}}}$ comme ${(\frac{x^{5} b^{6}}{y^{4} z^{10}})}^{\frac{1}{4}}$ .

$\log_{b} ({(\frac{x^{5} b^{6}}{y^{4} z^{10}})}^{\frac{1}{4}})$

Étape 2

Développez $\log_{b} ({(\frac{x^{5} b^{6}}{y^{4} z^{10}})}^{\frac{1}{4}})$ en déplaçant $\frac{1}{4}$ hors du logarithme.

$\frac{1}{4} \log_{b} (\frac{x^{5} b^{6}}{y^{4} z^{10}})$

Étape 3

Réécrivez $\log_{b} (\frac{x^{5} b^{6}}{y^{4} z^{10}})$ comme $\log_{b} (x^{5} b^{6}) - \log_{b} (y^{4} z^{10})$ .

$\frac{1}{4} (\log_{b} (x^{5} b^{6}) - \log_{b} (y^{4} z^{10}))$

Étape 4

Réécrivez $\log_{b} (x^{5} b^{6})$ comme $\log_{b} (x^{5}) + \log_{b} (b^{6})$ .

$\frac{1}{4} (\log_{b} (x^{5}) + \log_{b} (b^{6}) - \log_{b} (y^{4} z^{10}))$

Étape 5

Développez $\log_{b} (x^{5})$ en déplaçant $5$ hors du logarithme.

$\frac{1}{4} (5 \log_{b} (x) + \log_{b} (b^{6}) - \log_{b} (y^{4} z^{10}))$

Étape 6

Développez $\log_{b} (b^{6})$ en déplaçant $6$ hors du logarithme.

$\frac{1}{4} (5 \log_{b} (x) + 6 \log_{b} (b) - \log_{b} (y^{4} z^{10}))$

Étape 7

La base logarithmique $b$ de $b$ est $1$ .

$\frac{1}{4} (5 \log_{b} (x) + 6 \cdot 1 - \log_{b} (y^{4} z^{10}))$

Étape 8

Multipliez $6$ par $1$ .

$\frac{1}{4} (5 \log_{b} (x) + 6 - \log_{b} (y^{4} z^{10}))$

Étape 9

Réécrivez $\log_{b} (y^{4} z^{10})$ comme $\log_{b} (y^{4}) + \log_{b} (z^{10})$ .

$\frac{1}{4} (5 \log_{b} (x) + 6 - (\log_{b} (y^{4}) + \log_{b} (z^{10})))$

Étape 10

Développez $\log_{b} (y^{4})$ en déplaçant $4$ hors du logarithme.

$\frac{1}{4} (5 \log_{b} (x) + 6 - (4 \log_{b} (y) + \log_{b} (z^{10})))$

Étape 11

Développez $\log_{b} (z^{10})$ en déplaçant $10$ hors du logarithme.

$\frac{1}{4} (5 \log_{b} (x) + 6 - (4 \log_{b} (y) + 10 \log_{b} (z)))$

Étape 12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{4} (5 \log_{b} (x) + 6 - (4 \log_{b} (y)) - (10 \log_{b} (z)))$

Étape 12.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{1}{4} (5 \log_{b} (x) + 6 - 4 \log_{b} (y) - (10 \log_{b} (z)))$

Étape 12.3

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$\frac{1}{4} (5 \log_{b} (x) + 6 - 4 \log_{b} (y) - 10 \log_{b} (z))$

Étape 13

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{4} (5 \log_{b} (x)) + \frac{1}{4} \cdot 6 + \frac{1}{4} (- 4 \log_{b} (y)) + \frac{1}{4} (- 10 \log_{b} (z))$

Étape 14

Simplifiez

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Étape 14.1

Multipliez $\frac{1}{4} (5 \log_{b} (x))$ .

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Étape 14.1.1

Associez $5$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{5}{4} \log_{b} (x) + \frac{1}{4} \cdot 6 + \frac{1}{4} (- 4 \log_{b} (y)) + \frac{1}{4} (- 10 \log_{b} (z))$

Étape 14.1.2

Associez $\frac{5}{4}$ et $\log_{b} (x)$ .

$\frac{5 \log_{b} (x)}{4} + \frac{1}{4} \cdot 6 + \frac{1}{4} (- 4 \log_{b} (y)) + \frac{1}{4} (- 10 \log_{b} (z))$

Étape 14.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{5 \log_{b} (x)}{4} + \frac{1}{2 (2)} \cdot 6 + \frac{1}{4} (- 4 \log_{b} (y)) + \frac{1}{4} (- 10 \log_{b} (z))$

Étape 14.2.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{5 \log_{b} (x)}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 3) + \frac{1}{4} (- 4 \log_{b} (y)) + \frac{1}{4} (- 10 \log_{b} (z))$

Étape 14.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \log_{b} (x)}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 3) + \frac{1}{4} (- 4 \log_{b} (y)) + \frac{1}{4} (- 10 \log_{b} (z))$

Étape 14.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 \log_{b} (x)}{4} + \frac{1}{2} \cdot 3 + \frac{1}{4} (- 4 \log_{b} (y)) + \frac{1}{4} (- 10 \log_{b} (z))$

Étape 14.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $3$ .

$\frac{5 \log_{b} (x)}{4} + \frac{3}{2} + \frac{1}{4} (- 4 \log_{b} (y)) + \frac{1}{4} (- 10 \log_{b} (z))$

Étape 14.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 14.4.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 \log_{b} (y)$ .

$\frac{5 \log_{b} (x)}{4} + \frac{3}{2} + \frac{1}{4} (4 (- \log_{b} (y))) + \frac{1}{4} (- 10 \log_{b} (z))$

Étape 14.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \log_{b} (x)}{4} + \frac{3}{2} + \frac{1}{4} (4 (- \log_{b} (y))) + \frac{1}{4} (- 10 \log_{b} (z))$

Étape 14.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 \log_{b} (x)}{4} + \frac{3}{2} - \log_{b} (y) + \frac{1}{4} (- 10 \log_{b} (z))$

Étape 14.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.5.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{5 \log_{b} (x)}{4} + \frac{3}{2} - \log_{b} (y) + \frac{1}{2 (2)} (- 10 \log_{b} (z))$

Étape 14.5.2

Factorisez $2$ à partir de $- 10 \log_{b} (z)$ .

$\frac{5 \log_{b} (x)}{4} + \frac{3}{2} - \log_{b} (y) + \frac{1}{2 (2)} (2 (- 5 \log_{b} (z)))$

Étape 14.5.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \log_{b} (x)}{4} + \frac{3}{2} - \log_{b} (y) + \frac{1}{2 \cdot 2} (2 (- 5 \log_{b} (z)))$

Étape 14.5.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 \log_{b} (x)}{4} + \frac{3}{2} - \log_{b} (y) + \frac{1}{2} (- 5 \log_{b} (z))$

Étape 14.6

Associez $- 5$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5 \log_{b} (x)}{4} + \frac{3}{2} - \log_{b} (y) + \frac{- 5}{2} \log_{b} (z)$

Étape 14.7

Associez $\frac{- 5}{2}$ et $\log_{b} (z)$ .

$\frac{5 \log_{b} (x)}{4} + \frac{3}{2} - \log_{b} (y) + \frac{- 5 \log_{b} (z)}{2}$

Étape 15

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{5 \log_{b} (x)}{4} + \frac{3}{2} - \log_{b} (y) - \frac{5 \log_{b} (z)}{2}$