Pré-calcul Exemples

$\ln (\frac{\sqrt[5]{x} {(3 x + 1)}^{4}}{3 (x - 2) e^{5 x - 7}})$

Étape 1

Réécrivez $\ln (\frac{\sqrt[5]{x} {(3 x + 1)}^{4}}{3 (x - 2) e^{5 x - 7}})$ comme $\ln (\sqrt[5]{x} {(3 x + 1)}^{4}) - \ln (3 (x - 2) e^{5 x - 7})$ .

$\ln (\sqrt[5]{x} {(3 x + 1)}^{4}) - \ln (3 (x - 2) e^{5 x - 7})$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{x}$ comme $x^{\frac{1}{5}}$ .

$\ln (x^{\frac{1}{5}} {(3 x + 1)}^{4}) - \ln (3 (x - 2) e^{5 x - 7})$

Étape 3

Réécrivez $\ln (x^{\frac{1}{5}} {(3 x + 1)}^{4})$ comme $\ln (x^{\frac{1}{5}}) + \ln ({(3 x + 1)}^{4})$ .

$\ln (x^{\frac{1}{5}}) + \ln ({(3 x + 1)}^{4}) - \ln (3 (x - 2) e^{5 x - 7})$

Étape 4

Développez $\ln (x^{\frac{1}{5}})$ en déplaçant $\frac{1}{5}$ hors du logarithme.

$\frac{1}{5} \ln (x) + \ln ({(3 x + 1)}^{4}) - \ln (3 (x - 2) e^{5 x - 7})$

Étape 5

Développez $\ln ({(3 x + 1)}^{4})$ en déplaçant $4$ hors du logarithme.

$\frac{1}{5} \ln (x) + 4 \ln (3 x + 1) - \ln (3 (x - 2) e^{5 x - 7})$

Étape 6

Réécrivez $\ln (3 (x - 2) e^{5 x - 7})$ comme $\ln (3 (x - 2)) + \ln (e^{5 x - 7})$ .

$\frac{1}{5} \ln (x) + 4 \ln (3 x + 1) - (\ln (3 (x - 2)) + \ln (e^{5 x - 7}))$

Étape 7

Réécrivez $\ln (3 (x - 2))$ comme $\ln (3) + \ln (x - 2)$ .

$\frac{1}{5} \ln (x) + 4 \ln (3 x + 1) - (\ln (3) + \ln (x - 2) + \ln (e^{5 x - 7}))$

Étape 8

Développez $\ln (e^{5 x - 7})$ en déplaçant $5 x - 7$ hors du logarithme.

$\frac{1}{5} \ln (x) + 4 \ln (3 x + 1) - (\ln (3) + \ln (x - 2) + (5 x - 7) \ln (e))$

Étape 9

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\frac{1}{5} \ln (x) + 4 \ln (3 x + 1) - (\ln (3) + \ln (x - 2) + (5 x - 7) \cdot 1)$

Étape 10

Multipliez $5 x - 7$ par $1$ .

$\frac{1}{5} \ln (x) + 4 \ln (3 x + 1) - (\ln (3) + \ln (x - 2) + 5 x - 7)$

Étape 11

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $\ln (x)$ .

$\frac{\ln (x)}{5} + 4 \ln (3 x + 1) - (\ln (3) + \ln (x - 2) + 5 x - 7)$

Étape 11.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\ln (x)}{5} + 4 \ln (3 x + 1) - \ln (3) - \ln (x - 2) - (5 x) - - 7$

Étape 11.3

Simplifiez

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Étape 11.3.1

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{\ln (x)}{5} + 4 \ln (3 x + 1) - \ln (3) - \ln (x - 2) - 5 x - - 7$

Étape 11.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 7$ .

$\frac{\ln (x)}{5} + 4 \ln (3 x + 1) - \ln (3) - \ln (x - 2) - 5 x + 7$

Étape 12

Pour écrire $4 \ln (3 x + 1)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\ln (x)}{5} + 4 \ln (3 x + 1) \cdot \frac{5}{5} - \ln (3) - \ln (x - 2) - 5 x + 7$

Étape 13

Associez $4 \ln (3 x + 1)$ et $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\ln (x)}{5} + \frac{4 \ln (3 x + 1) \cdot 5}{5} - \ln (3) - \ln (x - 2) - 5 x + 7$

Étape 14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\ln (x) + 4 \ln (3 x + 1) \cdot 5}{5} - \ln (3) - \ln (x - 2) - 5 x + 7$

Étape 15

Multipliez $5$ par $4$ .

$\frac{\ln (x) + 20 \ln (3 x + 1)}{5} - \ln (3) - \ln (x - 2) - 5 x + 7$

Étape 16

Pour écrire $- \ln (x - 2)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\ln (x) + 20 \ln (3 x + 1)}{5} - \ln (x - 2) \cdot \frac{5}{5} - \ln (3) - 5 x + 7$

Étape 17

Associez $- \ln (x - 2)$ et $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\ln (x) + 20 \ln (3 x + 1)}{5} + \frac{- \ln (x - 2) \cdot 5}{5} - \ln (3) - 5 x + 7$

Étape 18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\ln (x) + 20 \ln (3 x + 1) - \ln (x - 2) \cdot 5}{5} - \ln (3) - 5 x + 7$

Étape 19

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{\ln (x) + 20 \ln (3 x + 1) - 5 \ln (x - 2)}{5} - \ln (3) - 5 x + 7$