Pré-calcul Exemples

$\ln (\frac{\sqrt[5]{4 x^{2 - 1}}}{4 x^{2 + 1}})$

Étape 1

Réécrivez $\ln (\frac{\sqrt[5]{4 x^{2 - 1}}}{4 x^{2 + 1}})$ comme $\ln (\sqrt[5]{4 x^{2 - 1}}) - \ln (4 x^{2 + 1})$ .

$\ln (\sqrt[5]{4 x^{2 - 1}}) - \ln (4 x^{2 + 1})$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{4 x^{2 - 1}}$ comme ${(4 x^{2 - 1})}^{\frac{1}{5}}$ .

$\ln ({(4 x^{2 - 1})}^{\frac{1}{5}}) - \ln (4 x^{2 + 1})$

Étape 3

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\ln ({(4 x^{1})}^{\frac{1}{5}}) - \ln (4 x^{2 + 1})$

Étape 4

Développez $\ln ({(4 x^{1})}^{\frac{1}{5}})$ en déplaçant $\frac{1}{5}$ hors du logarithme.

$\frac{1}{5} \ln (4 x^{1}) - \ln (4 x^{2 + 1})$

Étape 5

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{1}{5} \ln (4 x^{1}) - \ln (4 x^{3})$

Étape 6

Réécrivez $\ln (4 x^{1})$ comme $\ln (4) + \ln (x^{1})$ .

$\frac{1}{5} (\ln (4) + \ln (x^{1})) - \ln (4 x^{3})$

Étape 7

Développez $\ln (x^{1})$ en déplaçant $1$ hors du logarithme.

$\frac{1}{5} (\ln (4) + 1 \ln (x)) - \ln (4 x^{3})$

Étape 8

Multipliez $\ln (x)$ par $1$ .

$\frac{1}{5} (\ln (4) + \ln (x)) - \ln (4 x^{3})$

Étape 9

Réécrivez $\ln (4 x^{3})$ comme $\ln (4) + \ln (x^{3})$ .

$\frac{1}{5} (\ln (4) + \ln (x)) - (\ln (4) + \ln (x^{3}))$

Étape 10

Développez $\ln (x^{3})$ en déplaçant $3$ hors du logarithme.

$\frac{1}{5} (\ln (4) + \ln (x)) - (\ln (4) + 3 \ln (x))$

Étape 11

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.1.1

Réécrivez $\ln (4)$ comme $\ln (2^{2})$ .

$\frac{1}{5} (\ln (2^{2}) + \ln (x)) - (\ln (4) + 3 \ln (x))$

Étape 11.1.2

Développez $\ln (2^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$\frac{1}{5} (2 \ln (2) + \ln (x)) - (\ln (4) + 3 \ln (x))$

Étape 11.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{5} (2 \ln (2)) + \frac{1}{5} \ln (x) - (\ln (4) + 3 \ln (x))$

Étape 11.3

Multipliez $\frac{1}{5} (2 \ln (2))$ .

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Étape 11.3.1

Associez $2$ et $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2}{5} \ln (2) + \frac{1}{5} \ln (x) - (\ln (4) + 3 \ln (x))$

Étape 11.3.2

Associez $\frac{2}{5}$ et $\ln (2)$ .

$\frac{2 \ln (2)}{5} + \frac{1}{5} \ln (x) - (\ln (4) + 3 \ln (x))$

Étape 11.4

Associez $\frac{1}{5}$ et $\ln (x)$ .

$\frac{2 \ln (2)}{5} + \frac{\ln (x)}{5} - (\ln (4) + 3 \ln (x))$

Étape 11.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.5.1

Réécrivez $\ln (4)$ comme $\ln (2^{2})$ .

$\frac{2 \ln (2)}{5} + \frac{\ln (x)}{5} - (\ln (2^{2}) + 3 \ln (x))$

Étape 11.5.2

Développez $\ln (2^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$\frac{2 \ln (2)}{5} + \frac{\ln (x)}{5} - (2 \ln (2) + 3 \ln (x))$

Étape 11.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \ln (2)}{5} + \frac{\ln (x)}{5} - (2 \ln (2)) - (3 \ln (x))$

Étape 11.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 \ln (2)}{5} + \frac{\ln (x)}{5} - 2 \ln (2) - (3 \ln (x))$

Étape 11.8

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{2 \ln (2)}{5} + \frac{\ln (x)}{5} - 2 \ln (2) - 3 \ln (x)$

Étape 12

Pour écrire $- 2 \ln (2)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 \ln (2)}{5} - 2 \ln (2) \cdot \frac{5}{5} + \frac{\ln (x)}{5} - 3 \ln (x)$

Étape 13

Associez $- 2 \ln (2)$ et $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 \ln (2)}{5} + \frac{- 2 \ln (2) \cdot 5}{5} + \frac{\ln (x)}{5} - 3 \ln (x)$

Étape 14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 \ln (2) - 2 \ln (2) \cdot 5}{5} + \frac{\ln (x)}{5} - 3 \ln (x)$

Étape 15

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.1.1

Multipliez $5$ par $- 2$ .

$\frac{2 \ln (2) - 10 \ln (2)}{5} + \frac{\ln (x)}{5} - 3 \ln (x)$

Étape 15.1.2

Soustrayez $10 \ln (2)$ de $2 \ln (2)$ .

$\frac{- 8 \ln (2)}{5} + \frac{\ln (x)}{5} - 3 \ln (x)$

Étape 15.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{8 \ln (2)}{5} + \frac{\ln (x)}{5} - 3 \ln (x)$

Étape 16

Pour écrire $- 3 \ln (x)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{8 \ln (2)}{5} + \frac{\ln (x)}{5} - 3 \ln (x) \cdot \frac{5}{5}$

Étape 17

Associez $- 3 \ln (x)$ et $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{8 \ln (2)}{5} + \frac{\ln (x)}{5} + \frac{- 3 \ln (x) \cdot 5}{5}$

Étape 18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{8 \ln (2)}{5} + \frac{\ln (x) - 3 \ln (x) \cdot 5}{5}$

Étape 19

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 8 \ln (2) + \ln (x) - 3 \ln (x) \cdot 5}{5}$

Étape 20

Simplifiez le numérateur.

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Étape 20.1

Multipliez $5$ par $- 3$ .

$\frac{- 8 \ln (2) + \ln (x) - 15 \ln (x)}{5}$

Étape 20.2

Soustrayez $15 \ln (x)$ de $\ln (x)$ .

$\frac{- 8 \ln (2) - 14 \ln (x)}{5}$

Étape 21

Factorisez $- 2$ à partir de $- 8 \ln (2) - 14 \ln (x)$ .

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Étape 21.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 8 \ln (2)$ .

$\frac{- 2 (4 \ln (2)) - 14 \ln (x)}{5}$

Étape 21.2

Factorisez $- 2$ à partir de $- 14 \ln (x)$ .

$\frac{- 2 (4 \ln (2)) - 2 (7 \ln (x))}{5}$

Étape 21.3

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 (4 \ln (2)) - 2 (7 \ln (x))$ .

$\frac{- 2 (4 \ln (2) + 7 \ln (x))}{5}$

Étape 22

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 (4 \ln (2) + 7 \ln (x))}{5}$