Pré-calcul Exemples

$\ln (\frac{100 x^{5} \sqrt[3]{5 - x}}{3 {(x + 4)}^{2}})$

Étape 1

Réécrivez $\ln (\frac{100 x^{5} \sqrt[3]{5 - x}}{3 {(x + 4)}^{2}})$ comme $\ln (100 x^{5} \sqrt[3]{5 - x}) - \ln (3 {(x + 4)}^{2})$ .

$\ln (100 x^{5} \sqrt[3]{5 - x}) - \ln (3 {(x + 4)}^{2})$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{5 - x}$ comme ${(5 - x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\ln (100 x^{5} {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}) - \ln (3 {(x + 4)}^{2})$

Étape 3

Réécrivez $\ln (100 x^{5} {(5 - x)}^{\frac{1}{3}})$ comme $\ln (100 x^{5}) + \ln ({(5 - x)}^{\frac{1}{3}})$ .

$\ln (100 x^{5}) + \ln ({(5 - x)}^{\frac{1}{3}}) - \ln (3 {(x + 4)}^{2})$

Étape 4

Réécrivez $\ln (100 x^{5})$ comme $\ln (100) + \ln (x^{5})$ .

$\ln (100) + \ln (x^{5}) + \ln ({(5 - x)}^{\frac{1}{3}}) - \ln (3 {(x + 4)}^{2})$

Étape 5

Développez $\ln (x^{5})$ en déplaçant $5$ hors du logarithme.

$\ln (100) + 5 \ln (x) + \ln ({(5 - x)}^{\frac{1}{3}}) - \ln (3 {(x + 4)}^{2})$

Étape 6

Développez $\ln ({(5 - x)}^{\frac{1}{3}})$ en déplaçant $\frac{1}{3}$ hors du logarithme.

$\ln (100) + 5 \ln (x) + \frac{1}{3} \ln (5 - x) - \ln (3 {(x + 4)}^{2})$

Étape 7

Réécrivez $\ln (3 {(x + 4)}^{2})$ comme $\ln (3) + \ln ({(x + 4)}^{2})$ .

$\ln (100) + 5 \ln (x) + \frac{1}{3} \ln (5 - x) - (\ln (3) + \ln ({(x + 4)}^{2}))$

Étape 8

Développez $\ln ({(x + 4)}^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$\ln (100) + 5 \ln (x) + \frac{1}{3} \ln (5 - x) - (\ln (3) + 2 \ln (x + 4))$

Étape 9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1

Réécrivez $\ln (100)$ comme $\ln (2^{2} \cdot 5^{2})$ .

$\ln (2^{2} \cdot 5^{2}) + 5 \ln (x) + \frac{1}{3} \ln (5 - x) - (\ln (3) + 2 \ln (x + 4))$

Étape 9.2

Réécrivez $\ln (2^{2} \cdot 5^{2})$ comme $\ln (2^{2}) + \ln (5^{2})$ .

$\ln (2^{2}) + \ln (5^{2}) + 5 \ln (x) + \frac{1}{3} \ln (5 - x) - (\ln (3) + 2 \ln (x + 4))$

Étape 9.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.3.1

Développez $\ln (2^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$2 \ln (2) + \ln (5^{2}) + 5 \ln (x) + \frac{1}{3} \ln (5 - x) - (\ln (3) + 2 \ln (x + 4))$

Étape 9.3.2

Développez $\ln (5^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$2 \ln (2) + 2 \ln (5) + 5 \ln (x) + \frac{1}{3} \ln (5 - x) - (\ln (3) + 2 \ln (x + 4))$

Étape 9.4

Associez $\frac{1}{3}$ et $\ln (5 - x)$ .

$2 \ln (2) + 2 \ln (5) + 5 \ln (x) + \frac{\ln (5 - x)}{3} - (\ln (3) + 2 \ln (x + 4))$

Étape 9.5

Appliquez la propriété distributive.

$2 \ln (2) + 2 \ln (5) + 5 \ln (x) + \frac{\ln (5 - x)}{3} - \ln (3) - (2 \ln (x + 4))$

Étape 9.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 \ln (2) + 2 \ln (5) + 5 \ln (x) + \frac{\ln (5 - x)}{3} - \ln (3) - 2 \ln (x + 4)$

Étape 10

Pour écrire $2 \ln (2)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$2 \ln (5) + 5 \ln (x) + 2 \ln (2) \cdot \frac{3}{3} + \frac{\ln (5 - x)}{3} - \ln (3) - 2 \ln (x + 4)$

Étape 11

Associez $2 \ln (2)$ et $\frac{3}{3}$ .

$2 \ln (5) + 5 \ln (x) + \frac{2 \ln (2) \cdot 3}{3} + \frac{\ln (5 - x)}{3} - \ln (3) - 2 \ln (x + 4)$

Étape 12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 \ln (5) + 5 \ln (x) + \frac{2 \ln (2) \cdot 3 + \ln (5 - x)}{3} - \ln (3) - 2 \ln (x + 4)$

Étape 13

Multipliez $3$ par $2$ .

$2 \ln (5) + 5 \ln (x) + \frac{6 \ln (2) + \ln (5 - x)}{3} - \ln (3) - 2 \ln (x + 4)$

Étape 14

Pour écrire $- 2 \ln (x + 4)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$2 \ln (5) + 5 \ln (x) + \frac{6 \ln (2) + \ln (5 - x)}{3} - 2 \ln (x + 4) \cdot \frac{3}{3} - \ln (3)$

Étape 15

Associez $- 2 \ln (x + 4)$ et $\frac{3}{3}$ .

$2 \ln (5) + 5 \ln (x) + \frac{6 \ln (2) + \ln (5 - x)}{3} + \frac{- 2 \ln (x + 4) \cdot 3}{3} - \ln (3)$

Étape 16

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 \ln (5) + 5 \ln (x) + \frac{6 \ln (2) + \ln (5 - x) - 2 \ln (x + 4) \cdot 3}{3} - \ln (3)$

Étape 17

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$2 \ln (5) + 5 \ln (x) + \frac{6 \ln (2) + \ln (5 - x) - 6 \ln (x + 4)}{3} - \ln (3)$