Pré-calcul Exemples

$\ln (\frac{{(x - 1)}^{4} y^{3}}{\sqrt{z} (1 + x)})$

Étape 1

Réécrivez $\ln (\frac{{(x - 1)}^{4} y^{3}}{\sqrt{z} (1 + x)})$ comme $\ln ({(x - 1)}^{4} y^{3}) - \ln (\sqrt{z} (1 + x))$ .

$\ln ({(x - 1)}^{4} y^{3}) - \ln (\sqrt{z} (1 + x))$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{z}$ comme $z^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln ({(x - 1)}^{4} y^{3}) - \ln (z^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

Étape 3

Réécrivez $\ln ({(x - 1)}^{4} y^{3})$ comme $\ln ({(x - 1)}^{4}) + \ln (y^{3})$ .

$\ln ({(x - 1)}^{4}) + \ln (y^{3}) - \ln (z^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

Étape 4

Développez $\ln ({(x - 1)}^{4})$ en déplaçant $4$ hors du logarithme.

$4 \ln (x - 1) + \ln (y^{3}) - \ln (z^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

Étape 5

Développez $\ln (y^{3})$ en déplaçant $3$ hors du logarithme.

$4 \ln (x - 1) + 3 \ln (y) - \ln (z^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

Étape 6

Réécrivez $\ln (z^{\frac{1}{2}} (1 + x))$ comme $\ln (z^{\frac{1}{2}}) + \ln (1 + x)$ .

$4 \ln (x - 1) + 3 \ln (y) - (\ln (z^{\frac{1}{2}}) + \ln (1 + x))$

Étape 7

Développez $\ln (z^{\frac{1}{2}})$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ hors du logarithme.

$4 \ln (x - 1) + 3 \ln (y) - (\frac{1}{2} \ln (z) + \ln (1 + x))$

Étape 8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (z)$ .

$4 \ln (x - 1) + 3 \ln (y) - (\frac{\ln (z)}{2} + \ln (1 + x))$

Étape 8.2

Pour écrire $\ln (1 + x)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$4 \ln (x - 1) + 3 \ln (y) - (\frac{\ln (z)}{2} + \ln (1 + x) \cdot \frac{2}{2})$

Étape 8.3

Associez $\ln (1 + x)$ et $\frac{2}{2}$ .

$4 \ln (x - 1) + 3 \ln (y) - (\frac{\ln (z)}{2} + \frac{\ln (1 + x) \cdot 2}{2})$

Étape 8.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 \ln (x - 1) + 3 \ln (y) - \frac{\ln (z) + \ln (1 + x) \cdot 2}{2}$

Étape 8.5

Déplacez $2$ à gauche de $\ln (1 + x)$ .

$4 \ln (x - 1) + 3 \ln (y) - \frac{\ln (z) + 2 \ln (1 + x)}{2}$

Étape 9

Pour écrire $4 \ln (x - 1)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$3 \ln (y) + 4 \ln (x - 1) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (z) + 2 \ln (1 + x)}{2}$

Étape 10

Associez $4 \ln (x - 1)$ et $\frac{2}{2}$ .

$3 \ln (y) + \frac{4 \ln (x - 1) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (z) + 2 \ln (1 + x)}{2}$

Étape 11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 \ln (y) + \frac{4 \ln (x - 1) \cdot 2 - (\ln (z) + 2 \ln (1 + x))}{2}$

Étape 12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$3 \ln (y) + \frac{8 \ln (x - 1) - (\ln (z) + 2 \ln (1 + x))}{2}$

Étape 12.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 \ln (y) + \frac{8 \ln (x - 1) - \ln (z) - (2 \ln (1 + x))}{2}$

Étape 12.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$3 \ln (y) + \frac{8 \ln (x - 1) - \ln (z) - 2 \ln (1 + x)}{2}$