Pré-calcul Exemples

$\frac{x + 2}{x - 3}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \frac{y + 2}{y - 3}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Multipliez l’équation par $y - 3$ .

$(y - 3) (x) = (\frac{y + 2}{y - 3}) (y - 3)$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y x - 3 x = (\frac{y + 2}{y - 3}) (y - 3)$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun de $y - 3$ .

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Étape 2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$y x - 3 x = \frac{y + 2}{y - 3} (y - 3)$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$y x - 3 x = y + 2$

Étape 2.4

Résolvez $y$ .

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Étape 2.4.1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$y x - 3 x - y = 2$

Étape 2.4.2

Ajoutez $3 x$ aux deux côtés de l’équation.

$y x - y = 2 + 3 x$

Étape 2.4.3

Factorisez $y$ à partir de $y x - y$ .

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Étape 2.4.3.1

Factorisez $y$ à partir de $y x$ .

$y (x) - y = 2 + 3 x$

Étape 2.4.3.2

Factorisez $y$ à partir de $- y$ .

$y (x) + y \cdot - 1 = 2 + 3 x$

Étape 2.4.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y (x) + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = 2 + 3 x$

Étape 2.4.4

Divisez chaque terme dans $y (x - 1) = 2 + 3 x$ par $x - 1$ et simplifiez.

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Étape 2.4.4.1

Divisez chaque terme dans $y (x - 1) = 2 + 3 x$ par $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{2}{x - 1} + \frac{3 x}{x - 1}$

Étape 2.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 2.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{2}{x - 1} + \frac{3 x}{x - 1}$

Étape 2.4.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{2}{x - 1} + \frac{3 x}{x - 1}$

Étape 2.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{2 + 3 x}{x - 1}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 + 3 x}{x - 1}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{2 + 3 x}{x - 1}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{x + 2}{x - 3}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{2 + 3 (\frac{x + 2}{x - 3})}{(\frac{x + 2}{x - 3}) - 1}$

Étape 4.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 3$ .

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Étape 4.2.3.1

Multipliez $\frac{2 + 3 \frac{x + 2}{x - 3}}{\frac{x + 2}{x - 3} - 1}$ par $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{x - 3}{x - 3} \cdot \frac{2 + 3 (\frac{x + 2}{x - 3})}{\frac{x + 2}{x - 3} - 1}$

Étape 4.2.3.2

Associez.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (2 + 3 (\frac{x + 2}{x - 3}))}{(x - 3) (\frac{x + 2}{x - 3} - 1)}$

Étape 4.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) \cdot 2 + (x - 3) (3 (\frac{x + 2}{x - 3}))}{(x - 3) (\frac{x + 2}{x - 3}) + (x - 3) \cdot - 1}$

Étape 4.2.5

Annulez le facteur commun de $x - 3$ .

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Étape 4.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) \cdot 2 + (x - 3) (3 (\frac{x + 2}{x - 3}))}{(x - 3) (\frac{x + 2}{x - 3}) + (x - 3) \cdot - 1}$

Étape 4.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) \cdot 2 + (x - 3) (3 (\frac{x + 2}{x - 3}))}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Étape 4.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.6.1

Factorisez $x - 3$ à partir de $(x - 3) \cdot 2 + (x - 3) \cdot 3 \frac{x + 2}{x - 3}$ .

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Étape 4.2.6.1.1

Factorisez $x - 3$ à partir de $(x - 3) \cdot 2$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (2) + (x - 3) (3 (\frac{x + 2}{x - 3}))}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Étape 4.2.6.1.2

Factorisez $x - 3$ à partir de $(x - 3) (2) + (x - 3) (3 \frac{x + 2}{x - 3})$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (2 + 3 (\frac{x + 2}{x - 3}))}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Étape 4.2.6.2

Associez $3$ et $\frac{x + 2}{x - 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (2 + \frac{3 (x + 2)}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Étape 4.2.6.3

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{2 (x - 3)}{x - 3} + \frac{3 (x + 2)}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Étape 4.2.6.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{2 (x - 3) + 3 (x + 2)}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Étape 4.2.6.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{3 (x + 2) + 2 (x - 3)}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Étape 4.2.6.6

Réécrivez $\frac{3 (x + 2) + 2 (x - 3)}{x - 3}$ en forme factorisée.

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Étape 4.2.6.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{3 x + 3 \cdot 2 + 2 (x - 3)}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Étape 4.2.6.6.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{3 x + 6 + 2 (x - 3)}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Étape 4.2.6.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{3 x + 6 + 2 x + 2 \cdot - 3}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Étape 4.2.6.6.4

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{3 x + 6 + 2 x - 6}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Étape 4.2.6.6.5

Additionnez $3 x$ et $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{5 x + 6 - 6}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Étape 4.2.6.6.6

Soustrayez $6$ de $6$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{5 x + 0}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Étape 4.2.6.6.7

Additionnez $5 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{5 x}{x - 3})}{x + 2 + (x - 3) \cdot - 1}$

Étape 4.2.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{5 x}{x - 3})}{x + 2 + x \cdot - 1 - 3 \cdot - 1}$

Étape 4.2.7.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{5 x}{x - 3})}{x + 2 - 1 \cdot x - 3 \cdot - 1}$

Étape 4.2.7.3

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{5 x}{x - 3})}{x + 2 - 1 \cdot x + 3}$

Étape 4.2.7.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{5 x}{x - 3})}{x + 2 - x + 3}$

Étape 4.2.7.5

Soustrayez $x$ de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{5 x}{x - 3})}{0 + 2 + 3}$

Étape 4.2.7.6

Additionnez $0$ et $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{5 x}{x - 3})}{2 + 3}$

Étape 4.2.7.7

Additionnez $2$ et $3$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{5 x}{x - 3})}{5}$

Étape 4.2.8

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.2.8.1

Factorisez $\frac{5 x}{x - 3}$ à partir de $\frac{(x - 3) \frac{5 x}{x - 3}}{5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{5 x}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{5}$

Étape 4.2.8.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.2.8.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{5 (x)}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{5}$

Étape 4.2.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{5 x}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{5}$

Étape 4.2.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{x}{x - 3} \cdot (x - 3)$

Étape 4.2.8.3

Annulez le facteur commun de $x - 3$ .

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Étape 4.2.8.3.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = \frac{x}{x - 3} \cdot (x - 3)$

Étape 4.2.8.3.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{x + 2}{x - 3}) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\frac{2 + 3 x}{x - 1})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{(\frac{2 + 3 x}{x - 1}) + 2}{(\frac{2 + 3 x}{x - 1}) - 3}$

Étape 4.3.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 1$ .

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Étape 4.3.3.1

Multipliez $\frac{\frac{2 + 3 x}{x - 1} + 2}{\frac{2 + 3 x}{x - 1} - 3}$ par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{\frac{2 + 3 x}{x - 1} + 2}{\frac{2 + 3 x}{x - 1} - 3}$

Étape 4.3.3.2

Associez.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{2 + 3 x}{x - 1} + 2)}{(x - 1) (\frac{2 + 3 x}{x - 1} - 3)}$

Étape 4.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 2}{(x - 1) (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3}$

Étape 4.3.5

Simplifiez en annulant.

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Étape 4.3.5.1

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 4.3.5.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 2}{(x - 1) (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3}$

Étape 4.3.5.1.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{2 + 3 x + (x - 1) \cdot 2}{(x - 1) (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3}$

Étape 4.3.5.2

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 4.3.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{2 + 3 x + (x - 1) \cdot 2}{(x - 1) (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3}$

Étape 4.3.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{2 + 3 x + (x - 1) \cdot 2}{2 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Étape 4.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{2 + 3 x + x \cdot 2 - 1 \cdot 2}{2 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Étape 4.3.6.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{2 + 3 x + 2 \cdot x - 1 \cdot 2}{2 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Étape 4.3.6.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{2 + 3 x + 2 \cdot x - 2}{2 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Étape 4.3.6.4

Soustrayez $2$ de $2$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{3 x + 2 x + 0}{2 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Étape 4.3.6.5

Additionnez $3 x + 2 x$ et $0$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{3 x + 2 x}{2 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Étape 4.3.6.6

Additionnez $3 x$ et $2 x$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{2 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Étape 4.3.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{2 + 3 x + x \cdot - 3 - 1 \cdot - 3}$

Étape 4.3.7.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $x$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{2 + 3 x - 3 \cdot x - 1 \cdot - 3}$

Étape 4.3.7.3

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{2 + 3 x - 3 \cdot x + 3}$

Étape 4.3.7.4

Additionnez $2$ et $3$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{3 x - 3 x + 5}$

Étape 4.3.7.5

Soustrayez $3 x$ de $3 x$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{0 + 5}$

Étape 4.3.7.6

Additionnez $0$ et $5$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{5}$

Étape 4.3.8

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.3.8.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{5}$

Étape 4.3.8.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f (\frac{2 + 3 x}{x - 1}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{2 + 3 x}{x - 1}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{x + 2}{x - 3}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2 + 3 x}{x - 1}$