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Pré-calcul Exemples
h(x)=-x2-2x+3h(x)=−x2−2x+3
Étape 1
Étape 1.1
Réécrivez l’équation en forme de sommet.
Étape 1.1.1
Complétez le carré pour -x2-2x+3.
Étape 1.1.1.1
Utilisez la forme ax2+bx+c pour déterminer les valeurs de a, b et c.
a=-1
b=-2
c=3
Étape 1.1.1.2
Étudiez la forme du sommet d’une parabole.
a(x+d)2+e
Étape 1.1.1.3
Déterminez la valeur de d en utilisant la formule d=b2a.
Étape 1.1.1.3.1
Remplacez les valeurs de a et b dans la formule d=b2a.
d=-22⋅-1
Étape 1.1.1.3.2
Simplifiez le côté droit.
Étape 1.1.1.3.2.1
Annulez le facteur commun à -2 et 2.
Étape 1.1.1.3.2.1.1
Factorisez 2 à partir de -2.
d=2⋅-12⋅-1
Étape 1.1.1.3.2.1.2
Déplacez le moins un du dénominateur de -1-1.
d=-1⋅-1
d=-1⋅-1
Étape 1.1.1.3.2.2
Réécrivez -1⋅-1 comme --1.
d=--1
Étape 1.1.1.3.2.3
Multipliez -1 par -1.
d=1
d=1
d=1
Étape 1.1.1.4
Déterminez la valeur de e en utilisant la formule e=c-b24a.
Étape 1.1.1.4.1
Remplacez les valeurs de c, b et a dans la formule e=c-b24a.
e=3-(-2)24⋅-1
Étape 1.1.1.4.2
Simplifiez le côté droit.
Étape 1.1.1.4.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 1.1.1.4.2.1.1
Élevez -2 à la puissance 2.
e=3-44⋅-1
Étape 1.1.1.4.2.1.2
Multipliez 4 par -1.
e=3-4-4
Étape 1.1.1.4.2.1.3
Divisez 4 par -4.
e=3--1
Étape 1.1.1.4.2.1.4
Multipliez -1 par -1.
e=3+1
e=3+1
Étape 1.1.1.4.2.2
Additionnez 3 et 1.
e=4
e=4
e=4
Étape 1.1.1.5
Remplacez les valeurs de a, d et e dans la forme du sommet -(x+1)2+4.
-(x+1)2+4
-(x+1)2+4
Étape 1.1.2
Définissez y égal au nouveau côté droit.
y=-(x+1)2+4
y=-(x+1)2+4
Étape 1.2
Utilisez la forme du sommet, y=a(x-h)2+k, pour déterminer les valeurs de a, h et k.
a=-1
h=-1
k=4
Étape 1.3
Comme la valeur de a est négative, la parabole ouvre vers le bas.
ouvre vers le bas
Étape 1.4
Déterminez le sommet (h,k).
(-1,4)
Étape 1.5
Déterminez p, la distance du sommet au foyer.
Étape 1.5.1
Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.
14a
Étape 1.5.2
Remplacez la valeur de a dans la fonction.
14⋅-1
Étape 1.5.3
Annulez le facteur commun à 1 et -1.
Étape 1.5.3.1
Réécrivez 1 comme -1(-1).
-1(-1)4⋅-1
Étape 1.5.3.2
Placez le signe moins devant la fraction.
-14
-14
-14
Étape 1.6
Déterminez le foyer.
Étape 1.6.1
Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant p à la coordonnée y k si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.
(h,k+p)
Étape 1.6.2
Remplacez les valeurs connues de h, p et k dans la formule et simplifiez.
(-1,154)
(-1,154)
Étape 1.7
Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.
x=-1
Étape 1.8
Déterminez la directrice.
Étape 1.8.1
La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant p de la coordonnée y k du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.
y=k-p
Étape 1.8.2
Remplacez les valeurs connues de p et k dans la formule et simplifiez.
y=174
y=174
Étape 1.9
Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.
Direction : ouvre vers le bas
Sommet : (-1,4)
Foyer : (-1,154)
Axe de symétrie : x=-1
Directrice : y=174
Direction : ouvre vers le bas
Sommet : (-1,4)
Foyer : (-1,154)
Axe de symétrie : x=-1
Directrice : y=174
Étape 2
Étape 2.1
Remplacez la variable x par -2 dans l’expression.
f(-2)=-(-2)2-2⋅-2+3
Étape 2.2
Simplifiez le résultat.
Étape 2.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 2.2.1.1
Élevez -2 à la puissance 2.
f(-2)=-1⋅4-2⋅-2+3
Étape 2.2.1.2
Multipliez -1 par 4.
f(-2)=-4-2⋅-2+3
Étape 2.2.1.3
Multipliez -2 par -2.
f(-2)=-4+4+3
f(-2)=-4+4+3
Étape 2.2.2
Simplifiez en ajoutant des nombres.
Étape 2.2.2.1
Additionnez -4 et 4.
f(-2)=0+3
Étape 2.2.2.2
Additionnez 0 et 3.
f(-2)=3
f(-2)=3
Étape 2.2.3
La réponse finale est 3.
3
3
Étape 2.3
La valeur y sur x=-2 est 3.
y=3
Étape 2.4
Remplacez la variable x par -3 dans l’expression.
f(-3)=-(-3)2-2⋅-3+3
Étape 2.5
Simplifiez le résultat.
Étape 2.5.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 2.5.1.1
Élevez -3 à la puissance 2.
f(-3)=-1⋅9-2⋅-3+3
Étape 2.5.1.2
Multipliez -1 par 9.
f(-3)=-9-2⋅-3+3
Étape 2.5.1.3
Multipliez -2 par -3.
f(-3)=-9+6+3
f(-3)=-9+6+3
Étape 2.5.2
Simplifiez en ajoutant des nombres.
Étape 2.5.2.1
Additionnez -9 et 6.
f(-3)=-3+3
Étape 2.5.2.2
Additionnez -3 et 3.
f(-3)=0
f(-3)=0
Étape 2.5.3
La réponse finale est 0.
0
0
Étape 2.6
La valeur y sur x=-3 est 0.
y=0
Étape 2.7
Remplacez la variable x par 0 dans l’expression.
f(0)=-(0)2-2⋅0+3
Étape 2.8
Simplifiez le résultat.
Étape 2.8.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 2.8.1.1
L’élévation de 0 à toute puissance positive produit 0.
f(0)=-0-2⋅0+3
Étape 2.8.1.2
Multipliez -1 par 0.
f(0)=0-2⋅0+3
Étape 2.8.1.3
Multipliez -2 par 0.
f(0)=0+0+3
f(0)=0+0+3
Étape 2.8.2
Simplifiez en ajoutant des nombres.
Étape 2.8.2.1
Additionnez 0 et 0.
f(0)=0+3
Étape 2.8.2.2
Additionnez 0 et 3.
f(0)=3
f(0)=3
Étape 2.8.3
La réponse finale est 3.
3
3
Étape 2.9
La valeur y sur x=0 est 3.
y=3
Étape 2.10
Remplacez la variable x par 1 dans l’expression.
f(1)=-(1)2-2⋅1+3
Étape 2.11
Simplifiez le résultat.
Étape 2.11.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 2.11.1.1
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
f(1)=-1⋅1-2⋅1+3
Étape 2.11.1.2
Multipliez -1 par 1.
f(1)=-1-2⋅1+3
Étape 2.11.1.3
Multipliez -2 par 1.
f(1)=-1-2+3
f(1)=-1-2+3
Étape 2.11.2
Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.
Étape 2.11.2.1
Soustrayez 2 de -1.
f(1)=-3+3
Étape 2.11.2.2
Additionnez -3 et 3.
f(1)=0
f(1)=0
Étape 2.11.3
La réponse finale est 0.
0
0
Étape 2.12
La valeur y sur x=1 est 0.
y=0
Étape 2.13
Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.
xy-30-23-140310
xy-30-23-140310
Étape 3
Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.
Direction : ouvre vers le bas
Sommet : (-1,4)
Foyer : (-1,154)
Axe de symétrie : x=-1
Directrice : y=174
xy-30-23-140310
Étape 4